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? preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 2 meses

¿Alguien podria explicarme como resolver este problema?

Decaimiento radiactivo si una sustancia tiene una vida media de 7 años

Cuanto tiempo toma para que un gramo decaiga a 1/8 de gramo?

1 respuesta

Calificación
  • Anónimo
    hace 2 meses
    Respuesta preferida

    Para resolver el problema se puede primero formular una ecuación o bien, usar una ecuación exponencial común para este tipo de problemas.

    Considera una sustancia de masa inicial Nₒ y masa N(t) en el instante t (en años) y con tasa de decaimiento k. 

    Si la sustancia tiene una vida media de 7 años, significa que su masa inicial se reduce a la mitad después de ese tiempo, es decir, N(7) = Nₒ / 2.

    Método 1)

    La sustancia decae k veces la masa que tiene después de transcurrir un año, es decir:

    t = 0 años → Nₒ 

    t = 1 año → Nₒ - k Nₒ = Nₒ (1 - k)

    t = 2 años → Nₒ (1 - k) - k Nₒ (1 - k) = Nₒ (1 - k) (1 - k) = Nₒ (1 - k)² 

    De aquí se puede deducir que la ecuación que describe la cantidad N(t) de sustancia es:

    N(t) = Nₒ (1 - k)^t

    La cual es una ecuación exponencial.

    Aplicando la condición inicial, se obtiene:

    N(7) = Nₒ / 2

    Nₒ (1 - k)^7 = Nₒ / 2

    (1 - k)^7 = 1/2 

    1 - k = (1/2)^(1/7)

    1 - k = (2^(-1))^(1/7)

    1 - k = 2^(-1/7)

    N(t) = Nₒ (2^(-1/7))^t

    N(t) = Nₒ (2^(-t/7))

    El tiempo que toma para que Nₒ = 1 gramo inicial de la sustancia decaiga a N(t) = 1/8 de gramo es:

    1/8 = 1 * (2^(-t/7))

    1/2³ = 2^(-t/7)

    2⁻³ = 2^(-t/7)

    -3 = -t/7

    t = (-3) * (-7)

    t = 21 años

    Método 2)

    Considera que el problema de decaimiento puede moderlarse mediante la siguiente ecuación exponencial:

    N(t) = Nₒ (e^(-kt))

    Aplicando la condición inicial que se mencionó antes, se obtiene:

    N(7) = Nₒ / 2

    Nₒ (e^(-k * 7)) = Nₒ / 2

    e^(-7k) = 1/2

    e^(7k) = 2

    7k = ln(2)

    k = ln(2) / 7

    k = ln(2^(1/7))

    N(t) = Nₒ { e^[ -t ln(2^(1/7)) ] }

    N(t) = Nₒ { e^[ ln(2^(-t/7)) ] }

    N(t) = Nₒ (2^(-t/7))

    Para Nₒ = 1 gramo inicial de la sustancia, esta decae a N(t) = 1/8 de gramos en un tiempo igual a:

    1/8 = 1 * (2^(-t/7))

    1/2³ = 2^(-t/7)

    2⁻³ = 2^(-t/7)

    -3 = -t/7

    t = (-3) * (-7)

    t = 21 años

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