platano preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 3 semanas

¿En el siguiente ejercicio, para la gráfica de las ecuaciones paramétricas: x = t^3 - t       y = t^2        -3 ≤ t ≤ 3?

Indique y seleccione la respuesta correcta para cada uno de los aspectos solicitados a continuación:

A) Tipo de Rectas tangentes:

B) Primer derivada (dy / dx):

C) Segunda derivada (d^2y / dx^2):

D) Concavidades:

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1 respuesta

Calificación
  • Anónimo
    hace 3 semanas
    Respuesta preferida

    Dada la curva definida por las ecuaciones paramétricas:

    { x = t³ - t

    { y = t²

    Con -3 ≤ t ≤ 3.

    dx/dt = 3t²  - 1

    dy/dt = 2t

    Para calcular dy/dx, por la regla de la cadena se tiene que:

    dy/dx = (dy/dt) (dt/dx) = (dy/dt) / (dx/dt)

    Luego:

    dy/dx = (2t)/(3t² - 1)

    Para calcular dy²/dx², se aplica de nuevo la regla de la cadena.

    d²y/dx² = d[dy/dx]/dx = (d/dt) (dy/dx) (dt/dx) = (d[dy/dx]/dt) / (dx/dt)

    Luego:

    d[dy/dx]/dt = { [2t]' (3t² - 1) - 2t [3t² - 1]' } / (3t² - 1)²

    d[dy/dx]/dt = { 2 * (3t² - 1) - 2t * 6t } / (3t² - 1)²

    d[dy/dx]/dt = { 6t² - 2 - 12t² } / (3t² - 1)²

    d[dy/dx]/dt = (-6t² - 2)/(3t² - 1)² 

    d²y/dx² = [(-6t² - 2)/(3t² - 1)²] / (3t² - 1)

    d²y/dx² = (-6t² - 2)/(3t² - 1)³

    ----- 

    dy/dx = (2t)/(3t² - 1)

    La primera derivada (dy/dx) es cero cuando el numerador es nulo (dy/dt = 0), es decir, en t = 0 e indefinida cuando el denominador en nulo (dx/dt = 0), o sea, en t = ±1/√3 ≈ 0,57.

    Estudiando los signos de la primera derivada dy/dx:

    -3 . . . . -1/√3 . . . . . .0 . . . . 1/√3 . . . . . 3

    - - - - - - N.E.+ + + + 0 - - - - N.E + + + + | dy/dx = (2t)/(3t² - 1)

    Entonces:

    1) La recta tangente a la curva es decreciente en -3 ≤ t < -1/√3 y 0 < t < 1/√3.

    2) La recta tangente a la curva es horizontal en t = 0.

    3) La recta tangente a la curva es creciente en -1/√3 < t < 0 y 1/√3 < t ≤ 3.

    -------

    d²y/dx² = (-6t² - 2)/(3t² - 1)³

    La segunda derivada es indefinida cuando el denominador es t = ±1/√3 ≈ 0,57.

    Para determinar las concavidades de esta curva, estudiamos los signos de la segunda derivada d²y/dx².

    -3 . . . . -1/√3 . . . . . . 1/√3 . . . . 3

    - - - - - - N.E. + + + + N.E - - - - - | d²y/dx² = (-6t² - 2)/(3t² - 1)³

    Entonces:

    1) La curva es cóncava (o cóncava hacia abajo) en -3 ≤ t < -1/√3 y -1/√3 < t ≤ 3.

    2) La curva es convexa (o cóncava hacia arriba) en -1/√3 < t < 1/√3.

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