¿determinar el area de la superficie generada por revolucion de la curva alrededor del eje dado:?

x= 1/3 t^3 y=t+1 1 ≤ t ≤ 2 eje y

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  • Anónimo
    hace 3 semanas
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    El área de la superficie generada por girar la curva paramétrica definida por x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b alrededor del eje "y" es dada por:

        b

    S = 2π ∫ x(t) ds

        a

    Donde ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt y x(t) no es negativo en el intervalo a ≤ t ≤ b.

    En este caso, x(t) > 0 en el intervalo 1 ≤ t ≤ 2.

    x = (1/3) t³

    dx/dt = t²

    y = t + 1

    dy/dt = 1

    ds = √[(t²)² + 1²] dt

    ds = √(t⁴ + 1) dt 

    Luego:

        2

    S = 2π ∫ [(1/3) t³ √(t⁴ + 1)] dt 

        1

          2

    S = (2π/3) ∫ [t³ √(t⁴ + 1)] dt

          1

    La integral puede ser resuelta por sustitución.

    u = t⁴ + 1

    du = 4t³ dt

    dt = du/(4t³)

    Cambiando los límites de integración a términos de u:

    u(2) = 2⁴ + 1 = 17

    u(2) = 1⁴ + 1 = 2

           17

    S =  (2π/3) (1/4) ∫ (√u) du 

            2 

        17

    S =  (π/6) ∫ (u¹/²) du 

         2

               17

    S =  (π/6) [(u³/²)/(3/2)] | 

                2

           17

    S = (π/9) [u³/²] | 

            2

     

    S = (π/9) [(17³/²) - (2³/²)] 

    S ≈ 23,47 unidades cuadradas

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