¿Porque cambia el "signo del determinante de una matriz" si intercambio las filas de la matriz de lugar?

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  • hace 2 meses
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    Es la primera demostración que se realiza luego de la definición de determinante de una matriz.

    y en ella se usa la definición de determinante de un matriz.

    ***************************** 

    Antes de la definición te hablan de un orden inicial. ( Normalmente la secuencia son naturales consecutivos del 1 al n )

    Si el orden inicial o la permutación principal fuera: 1,2,3,4, ... ,n

    Si cambio el 2 por el 1 solamente. ¿ Cuántos cambio hay que realizar para volver a la permutación inicial ?

    Pues uno. ( Se dice que hay: una inversión. )

    Si cambio el 3 por el 1 solamente. ¿ Cuántos cambio hay que realizar para volver a la permutación inicial ?

    Pues tres. ( Se dice que hay: tres inversiones )

    3,2,1,4, ... ,n

    2,3,1,4, ... ,n ( primera inversión )

    2,1,3,4, ... ,n ( segunda inversión )

    1,2,3,4, ... ,n ( tercera inversión )

    Llevo primero el 3 ( dos inversiones )

    Llevo después el 1 ( una inversión )

    Total: 3 inversiones

    Generalizando: si intercambio en la permutación principal el número natural "i" por el  número natural "j" el número de inversiones es impar.

    Llevar el j al lugar son (j-i) inversiones. Llevar el i al lugar son (j-i-1) inversiones.

    Número de inversiones: (j-i)+(j-i-1) = 2(j-1) - 1 [ Siempre es impar ]

    ********************************

    Una definición posible de determinante de una matriz cuadrada de orden "n"

     n!

     Σ (-1)ᵝ a₁ᵢ₁ a₂ᵢ₂ a₃ᵢ₃ . . . a₏ᵢ₏ = | A |

     1

     ᵢ₁ , ᵢ₂ . ᵢ₃ , . . . , ᵢ₏ son la n! permutaciones posibles de la permutación principal

    Siendo ß el número de inversiones de la permutación ᵢ₁ , ᵢ₂ . ᵢ₃ , . . . , ᵢ₏ .

    Respecto a la permutación principal: 1,2,3, . . . , n

    ********************************

    "Cambio de signo" 

    Ahora cambio la columna 3 por la 1.

    Hay 3 inversiones para volverla a la permutación principal 

    (-1)^ß tiene un signo, se observa que (-1)^(ß+3) tiene el signo contrario

    Eso para cada termino de la sumatoria.

    Explicado a las patadas. La conclusión: Si se intercambian dos columnas de una matriz cuadrada el determinante cambia de signo.

    Corolario: SI dos columnas son iguales el determinante vale 0.

    Luego viene el teorema: Toda demostración de determinantes para columnas sirve para filas. 

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