¿Sea g(x) = x^3-x^2+x . Demostrar que existe un número c tal que g(c)= 10?

Hola , quería saber si alguien me puede ayudar con este problema o guiándome con la recomendación de algún libro/ vídeo que me ayude a resolver un problema de este estilo. Tengo entendido que se puede resolver con el Teorema del valor intermedio, pero los que yo resolví con dicho teorema son problemas donde "c" se encuentra en un intervalo cerrado. 

Si bien la función g es continua en todo el conjunto de los números reales no se como encarar el problema. 

5 respuestas

Calificación
  • Anónimo
    hace 4 semanas

    c ≈ 2.365019        

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  • Melkor
    Lv 4
    hace 2 meses

    Hola. Como yo lo veo, te pide que "demuestres" que existe c, no que "encuentres" el valor de c.

    Esto es más fácil de lo que parece. Al ser g(x) un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo, entonces se cumple lo siguiente:

    Límite cuando x tiende a +∞ = +∞

    Límite cuando x tiende a -∞ = -∞

    En otras palabras, la imagen de g(x) son todos los reales, por lo cual necesariamente existe un número c tal que g(c)=10.

  • hace 2 meses

    g(x) = x³ - x² + x → demostrar que existe un número c tal que: g(c) = 10

    c³ - c² + c = 10

    c³ - c² + c - 10 = 0 → it's necessary to eliminate the term at the power 2

    c³ - c² + c - 10 = 0 → let: c = z + (1/3)

    [z + (1/3)]³ - [z + (1/3)]² + [z + (1/3)] - 10 = 0

    [z + (1/3)]².[z + (1/3)] - [z² + (2/3).z + (1/9)] + z + (1/3) - 10 = 0

    [z² + (2/3).z + (1/9)].[z + (1/3)] - z² - (2/3).z - (1/9) + z + (1/3) - 10 = 0

    [z³ + (1/3).z² + (2/3).z² + (2/9).z + (1/9).z + (1/27)] - z² - (2/3).z - (1/9) + z + (1/3) - 10 = 0

    [z³ + z² + (1/3).z + (1/27)] - z² - (2/3).z - (1/9) + z + (1/3) - 10 = 0

    z³ + z² + (1/3).z + (1/27) - z² - (2/3).z - (1/9) + z + (1/3) - 10 = 0

    z³ + (2/3).z - (263/27) = 0 ← no term with power 2

    z³ + (2/3).z - (263/27) = 0 → let: z = u + v

    (u + v)³ + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [(u + v)².(u + v)] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [(u² + 2uv + v²).(u + v)] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [u³ + u²v + 2u²v + 2uv² + uv² + v³] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [u³ + v³ + 3u²v + 3uv²] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [(u³ + v³) + (3u²v + 3uv²)] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    [(u³ + v³) + 3uv.(u + v)] + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0

    (u³ + v³) + 3uv.(u + v) + (2/3).(u + v) - (263/27) = 0 → you can factorize: (u + v)

    (u³ + v³) + (u + v).[3uv + (2/3)] - (263/27) = 0 → suppose that: [3uv + (2/3)] = 0 ← equation (1)

    (u³ + v³) + (u + v).[0] - (263/27) = 0

    (u³ + v³) - (263/27) = 0 ← equation (2)

    You can get a system of 2 equations:

    (1) : [3uv + (2/3)] = 0

    (1) : 3uv = - 2/3

    (1) : uv = - 2/9

    (1) : u³v³ = - (2/9)³

    (2) : (u³ + v³) - (263/27) = 0

    (2) : u³ + v³ = 263/27

    Let: U = u³

    Let: V = v³

    You can get a new system of 2 equations:

    (1) : UV = - (2/9)³ ← this is the product P

    (2) : U + V = 263/27 ← this is the sum S

    You know that the values U & V are the solutions of the following equation:

    x² - Sx + P = 0 ← don’t confuse with the item x in the initial function g(x)

    x² - (263/27).x - (2/9)³ = 0

    Δ = [- (263/27)]² - [4 * - (2/9)³]

    Δ = (263²/27²) - [4 * - (8/729)] → you know that: 27² = 729

    Δ = 69201/27²

    Δ = 2563/27

    x₁ = [(263/27) + √(2563/27)]/2 = (263/54) + (1/2).√(2563/27) ← this is U → recall: U = u³ → u = U^(1/3)

    u = [(263/54) + (1/2).√(2563/27)]^(1/3)

    x₂ = [(263/27) - √(2563/27)]/2 = (263/54) + (1/2).√(2563/27) ← this is V → recall: V = v³ → v = V^(1/3)

    v = [(263/54) - (1/2).√(2563/27)]^(1/3)

    Recall: z = u + v

    Recall: c = z + (1/3)

    c = u + v + (1/3)

    c = [(263/54) + (1/2).√(2563/27)]^(1/3) + [(263/54) - (1/2).√(2563/27)]^(1/3) + (1/3)

    c = [2.13573518201377] + [- 0.104049520789693] + (1/3)

    c ≈ 2.365019

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  • hace 2 meses

    x³ - x² + x - 10 = 0

    c³ - c² + c - 10 = 0

    Aplicando Ruffini no da raíces exactas, por lo que la única solución válida que cumple la condición es:

    x = c = 2,37

    En la fuente te dejo una calculadora para resolución de ecuaciones de tercer grado.

    Revísalo!

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  • hace 2 meses

    .....................

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