¿Es correcto afirmar que se cumple: lim x→2 ( e^(4-x^(2)) ) / ( sen(x-2) ) = lim x→2 ( e^(4-x^(2)) ) / ( cos(x-2) ) = -4?

Justificar con que procediendo lo deduces

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  • Anónimo
    hace 1 mes
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    ¿Es correcto afirmar que se cumple:

    lím x→2 (e^(4-x²))/sen(x-2) = lím x→2 (e^(4-x²))/cos(x-2) = -4?

    RTA: No, es incorrecto.

    Procedimiento:

    1) 

    .......... e^(4-x²)

    lím ------------------ = 

    x→2 .. sen(x-2) 

    El resultado de este límite no es -4. Este límite es divergente, o sea, no existe. 

    Si el límite de una función f(x) cuando "x" tiende a "a" por derecha es distinto del límite de esa función cuando "x" tiende a "a" por izquierda, entonces ese límite no existe.

    Expresado matemáticamente

    Si lím f(x) ≠ lím f(x) ⇒ lím f(x) no existe

    ... x→a⁺ ..... x→a⁻ ...... x→a

    a) Calculas el límite por derecha (o sea, cuando "x" se aproxima a 2 desde los números mayores que 2)

    .......... e^(4-x²) 

    lím ------------------ =

    x→2⁺ . sen(x-2)

    Reemplazas "x" por 2

    . e^(4-2²)

    --------------- =

    . sen(2-2)

    .. e^(4-4)

    -------------- =

    . sen(2-2)

    ..... e°

    ------------ =

    . sen(0⁺)

    Cualquier número elevado a la 0 es 1.

    ..... 1

    ------------ =

    . sen(0⁺)

    Cuando "x" tiende a 2 por derecha, x > 2. En ese caso, el seno de (x-2) es un número positivo que se aproxima a 0:

    x > 2 ⇒ sen(x-2) > 0

    Como el denominador se acerca a 0 desde la derecha, el cociente toma valores positivos cada vez mayores. Se acerca a infinito desde la derecha, es decir, se aproxima a +∞.

    . 1  

    ------ = +∞

    . 0 ⁺

    b) Calculas el límite por izquierda (o sea, cuando "x" se aproxima a 2 desde los números menores que 2)

    .......... e^(4-x²) 

    lím ------------------ =

    x→2⁻ . sen(x-2)

    Reemplazas "x" por 2

    . e^(4-2²)

    -------------- =

    . sen(2-2)

    .. e^(4-4)

    -------------- =

    . sen(2-2)

    ..... e°

    ------------ =

    . sen(0⁻)

    Cualquier número elevado a la 0 es 1. 

    ..... 1

    ------------ =

    . sen(0⁻)

    Cuando "x" tiende a 2 por izquierda, x < 2. En ese caso, el seno de (x-2) es un número negativo que se aproxima a 0:

    x < 2 ⇒ sen(x-2) < 0

    Como el denominador se acerca a cero desde la izquierda, el cociente toma valores negativos cada vez mayores. Se acerca a infinito desde la izquierda, o sea, se aproxima a -∞.

    . 1

    ------ = -∞

    . 0 ⁻

    Como los 2 valores son distintos, se dice que el límite cuando "x" tiende a 2 es divergente. Por lo tanto, no existe.

    ---------------------------

    2) Este es un límite muy fácil de calcular, cuyo resultado tampoco es -4, sino 1.

    ......... e^(4-x²)

    lím ----------------- =

    x→2 . cos(x-2)

    Reemplazas "x" por 2

    . e^(4-2²)

    -------------- =

    . cos(2-2)

    .. e^(4-4)

    -------------- =

    . cos(2-2)

    ..... e°

    ------------ =

    .. cos(0)

    . 1

    ----- = 1

    . 1

    • Muchas gracias por la ayuda y el detalle

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  • hace 1 mes

    Es incorrecto

    Calculas:

     lim  ( e^(4-x^(2)) ) / ( sen(x-2) ) = ±∞, [ la función seno cambia de signo en 0 ]

    x→2±

     lim ( e^(4-x^(2)) ) / ( cos(x-2) ) = e⁰/1 = 1 

    x→2

    Ninguno de los dos limites da -4

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  • Si, es correcto.

    • Pero necesito el procedimiento...

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