¿Alguien me puede ayudar con este problema? Porfa?

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  • Anónimo
    hace 2 meses

    f(x) = 3x³ + 2x² - 48x - 32

    La primera derivada de f(x) es f'(x) = 9x² + 4x - 48

    Un punto es crítico si la derivada de f(x) es cero o indefinida en ese punto. 

    En este caso la derivada es continua, por lo que solo hay que encontrar los puntos que hacen cero la derivada.

    9x² + 4x - 48 = 0

    x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

    x = [-4 ± √(4² - 4 * 9 * (-48))] / (2 * 9)

    x = [-4 ± √1744] / 18

    x = [-4 ± √16√109] / 18

    x = -2/9 ± (2√109)/9

    x = -2/9 + (2√109)/9 ≈ 2,0978

    x = -2/9 - (2√109)/9 ≈ -2,5423

    La segunda derivada de f(x) es f''(x) = 18x + 4

    Sustituyendo los puntos críticos en f''(x):

    f''(2,0978) = 18 * (2,0978) + 4 ≈ 41,46 

    f''(-2,5423) = 18 * (-2,5423) + 4 ≈ -41,46 

    f''(2,0978) > 0 (hay un mínimo en ese punto)

    f''(-2,5423) < 0 (hay un máximo en ese punto)

    Por lo tanto:

    f(2,0978) = 3(2,0978)³ + 2(2,0978)² - 48(2,0978) - 32 ≈ -96,2 (mínimo)

    f(-2,5423) = 3(-2,5423)³ + 2(-2,5423)² - 48(-2,5423) - 32 ≈ 53,66 (máximo)

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