¿Cuáles seria la suma de los dígitos en la fila.- 20, 50, 100 y 2019. Pd.-Ej.- Fila 2 seria 2 y 2 asi?

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  • Anónimo
    hace 7 meses
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    Otra forma de ver la pirámide de dígitos es la siguiente:

    | 1

    | 2 | 2 |

    | 3 | 4 | 3 |

    | 4 | 6 | 6 | 4 |

    Las columnas forman progresiones aritméticas, donde la primera tiene razón de 1, la segunda tiene razón de 2 y así sucesivamente.

    El enésimo término de una progresión aritmética es dado por:

    aₙ = a₁ + (n - 1)r

    En la fila 1, la suma de los dígitos es:

    S = 1

    Los dígitos de la fila 2 son los últimos términos de las progresiones aritméticas con razones de 1 y 2, donde el número de términos de cada una es 2 y 1, respectivamente.

    Luego, la suma de esta fila es:

    S = (1 + (2 - 1)*1) + (2 + (1 - 1)*2) ← se aplicó la fórmula

    S = (1 + 1) + 2

    El primer término de cada una de las progresión aritmética de esta fila forman una progresión aritmética de razón 1 (la sucesión de los números naturales empezando por 1):

    S = 1 + (1 + 2)

    S = 1 + 3

    S = 4

    Los dígitos de la fila 3 son los últimos términos de las progresiones aritméticas con razones de 1, 2 y 3, respectivamente, donde el número de términos de cada una es 3, 2 y 1, respectivamente.

    La suma de esta fila es:

    S = (1 + (3 - 1)*1) + (2 + (2 - 1)*2) + (3 + (1 - 1)*3) ← se aplicó la fórmula

    S = (1 + 2) + (2 + 2) + 3

    Al igual que en fila anterior, el primer término de cada progresión aritmética forma una progresión aritmética de razón 1 :

    S = (1 + 2 + 3) + 2 + 2

    Nota que los términos fuera del paréntesis son la suma de los dígitos de la fila anterior.

    Sustituyendo estos, recordando que también forman una progresión aritmética se obtiene:

    S = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3)

    S = 1 + 3 + 6

    S = 10

    Si notas, cada término formado por las progresiones aritmética presentes en las filas forman una secuencia, donde el término general es la suma de los números naturales de 1 a n:

    aₙ = n(n + 1)/2

    {1, 3, 6, 10, 15, 21,...}

    Los números de esta secuencia son conocidos como números triangulares.

    Para obtener la suma de una fila, primero tenemos que encontrar el término que represente la suma de la secuencia.

    Sₙ = S{n²/2 + n/2}

    Aplicando las propiedades de la sumatoria se obtiene:

    S{n(n + 1)/2} = (1/2)S{n²} + (1/2)S{n}

    La suma de los primero números cuadrados es dada por n(n + 1)(2n + 1)/6

    La suma de los primero números naturales es dada por n(n + 1)/2

    S{n(n + 1)/2} = (1/2)n(n + 1)(2n + 1)/6 + (1/2)n(n + 1)/2

    S{n(n + 1)/2} = (1/2)n(n + 1)[(2n + 1)/6 + 1/2]

    S{n(n + 1)/2} = (1/2)n(n + 1)(2n + 1 + 3)/6

    S{n(n + 1)/2} = (1/2)n(n + 1)(2n + 4)/6

    S{n(n + 1)/2} = n(n + 1)(n + 2)/6

    Luego, la suma de los n términos de la secuencia es dada por:

    Sₙ = n(n + 1)(n + 2)/6

    En este caso, la suma de los dígitos de las filas 20, 50, 100 y 2019 es:

    S₂₀ = 20(20 + 1)(20 + 2)/6 = 1540

    S₅₀ = 50(50 + 1)(50 + 2)/6 = 22100

    S₁₀₀ = 100(100 + 1)(100 + 2)/6 = 171700

    S₂₀₁₉ = 2019(2019 + 1)(2019 + 2)/6 = 1373734330

  • hace 7 meses

    creo que:

    si en los costados se enumera con "n" para abajo

    en el medio hay espacio para "n-2" dígitos

    el espacio se rellena con los dígitos "2(n-1)":

    osea desde la fila 2 es "n + (n-2)(2(n-1)) + n"

    ej: en la fila 4:

    n + (n-2)(2(n-1)) + n ->

    4 + (4-2)(2(4-1)) + 4 ->

    4 + 2(2*3) + 4 ->

    4 + 2*6 + 4 ->

    4 + 12 + 4 ->

    20

    en la 20: 20 + (20-2)(2(20-1)) + 20 = 724

    en la 50: 50 + (50-2)(2(50-1)) + 50 = 4804

    en la 100: 100 + (100-2)(2(100-1)) + 100 = 19604

    en la 2019: 2019 + (2019-2)(2(2019-1)) + 2019 = 8144650

    pd: pensaba en algo como esto:

    {1}

    {2,2}

    {3,4,3}

    {4,6,6,4}

    {5,8,8,8,5}

    {6,10,10,10,10,6}

    {7,12,12,12,12,12,7}

    {8,14,14,14,14,14,14,8}

    {9,16,16,16,16,16,16,16,9}

    {10,18,18,18,18,18,18,18,18,10}

    {11,20,20,20,20,20,20,20,20,20,11}

    {12,22,22,22,22,22,22,22,22,22,22,12}

    ...

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