¿Porfavor ayuda con estos problemas Espacios vectoriales .Alguien me puede orientar para poderlos estudiar. Muchas gracias. Doy puntos.?

Question

Sea V el conjunto de ternas ordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) y defínase la suma

de V como en ℝ^3. Para cada una de las siguientes definiciones de

multiplicación por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial.

c. 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥, 𝑦, 𝑎𝑧)

d. 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)

Answer 1

Respuesta preferida

Estos problemas en ralidad son fáciles, sólo hay que traducirlos.

Traducción:

"Si tomamos grupos de tres números (x,y,z) como si fueran un vector normal y corriente, entonces comprueba si estos otros cumplen todas las propiedades que se le exigen a un espacio vectorial".

a(x,y,z) = (ax, y, az).

Para que sea espacio vectorial, debe cumplir los 4 axiomas de la operación "producto de número pro vector".

Los axiomas son las dos propiedades distributivas, la asociatividad de escalares y el elemento unidad.

Veamos si cumple la propiedad distributiva:

(a+b)(x, y, z) debería ser igual que a(x,y,z) + b(x,y,z)

Con la definición que te han dado, sale

( (a+b)x, y, (a+b) z)

que es lo mismo que arriba. Entonces esta sí la cumple.

La otra distributiva:

a[ (x,y,z) + (u, v,w)] = a(x,y,z) + z(u,v,w)

y con la definición de suma, tendrías

a [ (x+u, y+v, z+w) ] = a(x+u), y+v, a(z+w)

que es lo mismo que lo de arriba, así que también la cumple.

Asociativida dde escalares

a·b(x,y,z)=(ab)·(x,y,z)

también la cumple

Y también

1·(x,y,z)=(x,y,z)

En definitiva, sí es espacio vectorial.

En resumen, tienes que probar que la operación que te dicen cumple todos los requisitos para ser espacio vectorial.