¿Marca la expresión correcta: Nota: use el arco mitad , por favor?

a)sen100 + cos100 = (1+sen20)^1/2

b)sen170 + cos170= (1-sen340)^1/2

c)sen100 + cps100=- (1+sen20)^1/2

d)sen170 + cos170=- (1-sen20)^1/2

e)sen140 + cos140=(1- cos10)^1/2

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  • hace 3 años
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    Hola, Poccomoobregonjhosep:

    ► EJERCICIO: Marca la expresión correcta:

    .......................................... _________

    a) sen(100) + cos(100) = √1 + sen(20)

    .......................................... __________

    b) sen(170) + cos(170) = √1 – sen(340)

    ................... ........................ _________

    c) sen(100) + cos(100) = –√1 + sen(20)

    .................... ....................... _________

    d) sen(170) + cos(170) = –√1 – sen(20) ✔

    .......................................... _________

    e) sen(140) + cos(140) = √1 – cos(10)

    Nota: Usa el arco mitad, por favor.

    ► SOLUCIÓN

    Por lo general, para demostrar identidades se trabaja con un solo miembro de la igualdad y se utilizan transformaciones trigonométricas para expresar ese miembro como el otro. En este caso, sin embargo, resulta facilísimo probar la igualdad si se desarrolla el 1° miembro y también se modifica ligeramente el 2°. (Lo que no es nada fácil es escribir estas cosas aquí, así que perdona el lío de paréntesis, corchetes y llaves...)

    Debemos demostrar que se cumple la igualdad:

    ....................................... _________

    sen(170) + cos(170) = –√1 – sen(20)

    El ángulo de 170° está en el II cuadrante. Lo reducimos al I cuadrante usando las fórmulas de las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios:

    sen(α) = sen(180° – α)

    cos(α) = –cos(180° – α)

    Para α = 170°:

    sen(170°) = sen(180° – 170°) = sen(10°)

    cos(170°) = –cos(180° – 170°) = –cos(10°)

    Reemplacemos sen(170°) por sen(10°) y cos(170°) por –cos(10°) en la identidad:

    ................................... _________

    sen(10) – cos(10) = –√1 – sen(20)

    Recordemos las fórmulas del seno y del coseno del arco mitad:

    .................... ___________

    sen(α/2) = ±√[1 – cos(α)]/2

    .................... ___________

    cos(α/2) = ±√[1 + cos(α)]/2

    Expresemos el sen(10°) y el cos(10°) en función de un arco de 20°:

    . ____________ ... ____________ ..... _________

    √[1 – cos(20)]/2 – √[1 + cos(20)]/2 = –√1 – sen(20)

    Elevemos ambos miembros al cuadrado:

    .. ____________ ... ____________ .......... _________

    {√[1 – cos(20)]/2 – √[1 + cos(20)]/2 }² = {–√1 – sen(20)}²

    En el 2° miembro se cancelan el índice de la raíz cuadrada y el exponente, y desaparece el signo '–':

    .. ____________ ... ____________

    {√[1 – cos(20)]/2 – √[1 + cos(20)]/2 }² = 1 – sen(20)

    Desarrollemos el cuadrado del binomio del primer miembro:

    .. ____________ ............ ____________ .. ____________ ..... ____________

    {√[1 – cos(20)]/2}² – {2 · √[1 – cos(20)]/2 · √[1 + cos(20)]/2} + {√[1 + cos(20)]/2}² = 1 – sen(20)

    Simplifiquemos los índices de las raíces cuadradas y los exponentes:

    . 1 – cos(20) ........... √[1 – cos(20)] ..... √[1 + cos(20)] .......1 + cos(20)

    ------------------ – 2 · ---------------------- · ---------------------- + ------------------ = 1 – sen(20)

    ......... 2 ............................ √2 ....................... √2 ....................... 2

    El producto de 2 raíces es igual a la raíz del producto:

    . 1 – cos(20) ....... 2√[1 – cos(20)][1 + cos(20)] ..... 1 + cos(20)

    ------------------ – --------------------- ------------------- + ------------------- = 1 – sen(20)

    ......... 2 ............................... √(2 · 2) .............................. 2

    El producto de 2 binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados:

    .. 1 – cos(20) ...... 2√[1² – cos²(20)] ...... 1 + cos(20)

    ------------------- – ------------------------- + ------------------- = 1 – sen(20)

    ......... 2 .......................... √2² ......................... 2

    Simplifiquemos el índice y el exponente de √2²:

    .. 1 – cos(20) ...... 2√[1² – cos²(20)] ...... 1 + cos(20)

    ------------------- – -------------------------- + ----------------- = 1 – sen(20)

    .......... 2 .......................... 2 .......................... 2

    Recordemos la identidad trigonométrica fundamental:

    sen²(x) + cos²(x) = 1

    En este caso:

    sen²(20) + cos²(20) = 1

    Despejemos sen²(20):

    sen²(20) = 1 – cos²(20)

    Reemplacemos 1 – cos²(20) por sen²(20):

    .. 1 – cos(20) ...... 2√sen²(20) ...... 1 + cos(20)

    ------------------- – ------------------ + ------------------ = 1 – sen(20)

    ......... 2 ...................... 2 ...................... 2

    Simplifiquemos el índice y el exponente de √sen²(20):

    .. 1 – cos(20) ...... 2sen(20) ...... 1 + cos(20)

    ------------------- – ---------------- + ------------------ = 1 – sen(20)

    .......... 2 .................... 2 ..................... 2

    Saquemos común denominador 2:

    .. 1 – cos(20) – 2sen(20) + 1 + cos(20)

    -------------------------- -------------------------- = 1 – sen(20)

    .............................. 2

    Simplifiquemos cos(20):

    .. 1 – 2sen(20) + 1

    --------------------------- = 1 – sen(20)

    ............... 2

    Sumemos los unos en el numerador:

    .. 2 – 2sen(20)

    -------------------- = 1 – sen(20)

    ........... 2

    Saquemos factor común 2 en el numerador:

    .. 2[1 – sen(20)]

    ----------------------- = 1 – sen(20)

    ............ 2

    Simplifiquemos el 2 del numerador y el del denominador:

    ______________________

    | 1 – sen(20) = 1 – sen(20) | ◄

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    Queda demostrada la identidad.

    Saludos. 😏

    ----------------

    .

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