¿Resolucion de sucesion aritmetica?

Hallar tres numeros en progresion aritmetica tales que su suma es 111 y la suma de sus cuadrados es 4157

2 respuestas

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  • Dinis
    Lv 7
    hace 4 años
    Mejor Respuesta

    la suma de los tres números de la progresión aritmética es 111

    (a1+an)n/2 = 111

    (a1+an)3/2 = 111

    a1+an = 111*2/3

    a1+an = 74

    para saber el promedio de los 3 números dividimos 111/3 = 37

    el número del medio es 37

    74-37 = 37

    entonces el del medio es 37

    sabemos que

    x+y+z = 111

    que

    x+z = 74 despejamos x

    x = 74-z

    que

    y = 37

    la suma de sus cuadrados es 4157

    x²+y²+z² = 4157 reemolazamos y

    x²+37²+z² = 4157

    x²+1369+z² = 4157

    x²+z² = 4157-1369

    x²+z² = 2788 despejamos x

    x² = 2788-z²

    x = √2788-z²

    además tenemos despejado

    x = 74-z

    igualamos los valores de x

    √2788-z² = 74-z

    2788-z² = (74-z)²

    2788-z² = 5476-148z+z² igualamos a 0

    z²+z²-148z+5476-2788 = 0

    2z²-148z+2688 = 0

    a=2

    b=-148

    c=2688

    z=[-b+-√b²-4ac]/2a

    z=[-(-148)+-√(-148)²-4*2*2688]/2*2

    z=[148+-√21904-21504]/4

    z=[148+-√400]/4

    z=[148+-20]/4

    z1=[148-20]/4 = 128/4 = 32

    z2=[148+20]/4 = 168/4 = 42

    Respuesta: Los tres números son 32, 37 y 42

    comprobando

    x+y+z = 111

    32+37+42 = 111

    111 = 111

    x²+y²+z² = 4157

    32²+37²+42² = 4157

    1024+1369+1764 = 4157

    4157 = 4157

  • hace 4 años

    an = a1 + d(n-1) donde d (la diferencia) es constante siempre

    a1 = a1 + d(1 - 1) = a1 + 0 = a1

    a2 = a1 + d(2 - 1) = a1 + d

    a3 = a1 + d(3 - 1) = a1 + 2d

    Se debe cumplir que:

    a1 + a2 + a3 = 111

    a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 111

    a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 111

    3a1 + 3d = 111

    3(a1 + d) = 111

    a1 + d = 111/3

    a1 = 37 - d <--- primera ecuación (1)

    ----------------

    La segunda es:

    (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2 = 4157

    (a1)^2 + (a1 + d)^2 + (a1 + 2d)^2 = 4157

    Sustituyendo los a1 ecuación (1) tenemos

    (37 - d)^2 + (37 - d + d)^2 + (37 - d + 2d)^2 = 4157

    (37 - d)^2 + (37)^2 + (37 + d)^2 = 4157

    (37)^2 - 2*37*d + (d)^2 + (37)^2 + (37)^2 + 2*37*d + (d)^2 = 4157

    3(37)^2 + 2(d)^2 = 4157

    4107 + 2(d)^2 = 4157

    2(d)^2 = 4157 - 4107

    2(d)^2 = 50

    (d)^2 = 50/2

    (d)^2 = 25

    d = (+/-) (25)^2

    d1 = 5

    d2 = -5

    Si elegimos d = 5 tenemos:

    a1 = 37 - 5 = 32

    a2 = 32 + 5 = 37

    a3 = 32 + 2(5) = 32 + 10 = 42

    32 + 37 + 42 = 111

    (32)^2 + (37)^2 + (42)^2 = 4157

    Por tanto una solución al problema son los números : 32, 37,42.

    Si elegimos d = -5 tenemos:

    a1 = 37 + 5 = 42

    a2 = 42 - 5 = 37

    a3 = 42 - 2(5) = 42 - 10 = 32

    Que son exactamente los mismos números.

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