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¿Resolucion de sucesion aritmetica?
Hallar tres numeros en progresion aritmetica tales que su suma es 111 y la suma de sus cuadrados es 4157
2 respuestas
- DinisLv 7hace 5 añosRespuesta preferida
la suma de los tres números de la progresión aritmética es 111
(a1+an)n/2 = 111
(a1+an)3/2 = 111
a1+an = 111*2/3
a1+an = 74
para saber el promedio de los 3 números dividimos 111/3 = 37
el número del medio es 37
74-37 = 37
entonces el del medio es 37
sabemos que
x+y+z = 111
que
x+z = 74 despejamos x
x = 74-z
que
y = 37
la suma de sus cuadrados es 4157
x²+y²+z² = 4157 reemolazamos y
x²+37²+z² = 4157
x²+1369+z² = 4157
x²+z² = 4157-1369
x²+z² = 2788 despejamos x
x² = 2788-z²
x = √2788-z²
además tenemos despejado
x = 74-z
igualamos los valores de x
√2788-z² = 74-z
2788-z² = (74-z)²
2788-z² = 5476-148z+z² igualamos a 0
z²+z²-148z+5476-2788 = 0
2z²-148z+2688 = 0
a=2
b=-148
c=2688
z=[-b+-√b²-4ac]/2a
z=[-(-148)+-√(-148)²-4*2*2688]/2*2
z=[148+-√21904-21504]/4
z=[148+-√400]/4
z=[148+-20]/4
z1=[148-20]/4 = 128/4 = 32
z2=[148+20]/4 = 168/4 = 42
Respuesta: Los tres números son 32, 37 y 42
comprobando
x+y+z = 111
32+37+42 = 111
111 = 111
x²+y²+z² = 4157
32²+37²+42² = 4157
1024+1369+1764 = 4157
4157 = 4157
- Xsal100clXLv 5hace 5 años
an = a1 + d(n-1) donde d (la diferencia) es constante siempre
a1 = a1 + d(1 - 1) = a1 + 0 = a1
a2 = a1 + d(2 - 1) = a1 + d
a3 = a1 + d(3 - 1) = a1 + 2d
Se debe cumplir que:
a1 + a2 + a3 = 111
a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 111
a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 111
3a1 + 3d = 111
3(a1 + d) = 111
a1 + d = 111/3
a1 = 37 - d <--- primera ecuación (1)
----------------
La segunda es:
(a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2 = 4157
(a1)^2 + (a1 + d)^2 + (a1 + 2d)^2 = 4157
Sustituyendo los a1 ecuación (1) tenemos
(37 - d)^2 + (37 - d + d)^2 + (37 - d + 2d)^2 = 4157
(37 - d)^2 + (37)^2 + (37 + d)^2 = 4157
(37)^2 - 2*37*d + (d)^2 + (37)^2 + (37)^2 + 2*37*d + (d)^2 = 4157
3(37)^2 + 2(d)^2 = 4157
4107 + 2(d)^2 = 4157
2(d)^2 = 4157 - 4107
2(d)^2 = 50
(d)^2 = 50/2
(d)^2 = 25
d = (+/-) (25)^2
d1 = 5
d2 = -5
Si elegimos d = 5 tenemos:
a1 = 37 - 5 = 32
a2 = 32 + 5 = 37
a3 = 32 + 2(5) = 32 + 10 = 42
32 + 37 + 42 = 111
(32)^2 + (37)^2 + (42)^2 = 4157
Por tanto una solución al problema son los números : 32, 37,42.
Si elegimos d = -5 tenemos:
a1 = 37 + 5 = 42
a2 = 42 - 5 = 37
a3 = 42 - 2(5) = 42 - 10 = 32
Que son exactamente los mismos números.