¿Resolucion de sucesion aritmetica?

Question

Hallar tres numeros en progresion aritmetica tales que su suma es 111 y la suma de sus cuadrados es 4157

Answer 1

Respuesta preferida

la suma de los tres números de la progresión aritmética es 111

(a1+an)n/2 = 111

(a1+an)3/2 = 111

a1+an = 111*2/3

a1+an = 74

para saber el promedio de los 3 números dividimos 111/3 = 37

el número del medio es 37

74-37 = 37

entonces el del medio es 37

sabemos que

x+y+z = 111

que

x+z = 74 despejamos x

x = 74-z

que

y = 37

la suma de sus cuadrados es 4157

x²+y²+z² = 4157 reemolazamos y

x²+37²+z² = 4157

x²+1369+z² = 4157

x²+z² = 4157-1369

x²+z² = 2788 despejamos x

x² = 2788-z²

x = √2788-z²

además tenemos despejado

x = 74-z

igualamos los valores de x

√2788-z² = 74-z

2788-z² = (74-z)²

2788-z² = 5476-148z+z² igualamos a 0

z²+z²-148z+5476-2788 = 0

2z²-148z+2688 = 0

a=2

b=-148

c=2688

z=[-b+-√b²-4ac]/2a

z=[-(-148)+-√(-148)²-4*2*2688]/2*2

z=[148+-√21904-21504]/4

z=[148+-√400]/4

z=[148+-20]/4

z1=[148-20]/4 = 128/4 = 32

z2=[148+20]/4 = 168/4 = 42

Respuesta: Los tres números son 32, 37 y 42

comprobando

x+y+z = 111

32+37+42 = 111

111 = 111

x²+y²+z² = 4157

32²+37²+42² = 4157

1024+1369+1764 = 4157

4157 = 4157

Answer 2

an = a1 + d(n-1) donde d (la diferencia) es constante siempre

a1 = a1 + d(1 - 1) = a1 + 0 = a1

a2 = a1 + d(2 - 1) = a1 + d

a3 = a1 + d(3 - 1) = a1 + 2d

Se debe cumplir que:

a1 + a2 + a3 = 111

a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 111

a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 111

3a1 + 3d = 111

3(a1 + d) = 111

a1 + d = 111/3

a1 = 37 - d <--- primera ecuación (1)

----------------

La segunda es:

(a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2 = 4157

(a1)^2 + (a1 + d)^2 + (a1 + 2d)^2 = 4157

Sustituyendo los a1 ecuación (1) tenemos

(37 - d)^2 + (37 - d + d)^2 + (37 - d + 2d)^2 = 4157

(37 - d)^2 + (37)^2 + (37 + d)^2 = 4157

(37)^2 - 2*37*d + (d)^2 + (37)^2 + (37)^2 + 2*37*d + (d)^2 = 4157

3(37)^2 + 2(d)^2 = 4157

4107 + 2(d)^2 = 4157

2(d)^2 = 4157 - 4107

2(d)^2 = 50

(d)^2 = 50/2

(d)^2 = 25

d = (+/-) (25)^2

d1 = 5

d2 = -5

Si elegimos d = 5 tenemos:

a1 = 37 - 5 = 32

a2 = 32 + 5 = 37

a3 = 32 + 2(5) = 32 + 10 = 42

32 + 37 + 42 = 111

(32)^2 + (37)^2 + (42)^2 = 4157

Por tanto una solución al problema son los números : 32, 37,42.

Si elegimos d = -5 tenemos:

a1 = 37 + 5 = 42

a2 = 42 - 5 = 37

a3 = 42 - 2(5) = 42 - 10 = 32

Que son exactamente los mismos números.