¿Progresiones aritméticas.?

Question

El primer termino de una progresion aritmetica es 2 con una diferencia comun de 3. cuantos terminos debe sumar para que obtengamos 155. Agradezco cualquier colaboración.

Answer 1

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a1 es el primer término, o sea 2

la diferencia es 3

la suma es 155

la regla de una progresión aritmética es

a1+(n-1)d

2+(n-1)3

2+3n-3

an = 3n-1

la fórmula de la suma de una progresión aritmética es

(a1+an)n/2

(2+an)n/2 = 155

(2+an)n = 155*2

(2+an)n = 310

2+an = 310/n

an = 310/n-2

igualamos los valores de an

3n-1 = 310/n-2

3n-1+2 = 310/n

3n+1 = 310/n

(3n+1)n = 310

3n²+n = 310

3n²+n-310 = 0

a=3

b=1

c=-310

n=[-b±√b²-4ac]/(2a)

n=[-1±√1-4*3*(-310)](2*3)

n=[-1±√1+3720]6

n=[-1±√3721]/6

n=[-1±61]/6

n1=[-1-61]/6 = -62/6 la descartamos por negativa, porque la suma es positiva

n2=[-1+61]/6 = 60/6 = 10

Respuesta: Debe sumar 10 términos para obtener 155

comprobando

el término 10 es

3n-1 = 3*10-1 = 30-1 = 29

la suma es

(a1+an)n/2 =

(2+29)*10/2 =

(31)*10/2 =

310/2 = 155

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Answer 2

La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

=================

Sn = (1/2) (A₁ + An)*n

================= ............... donde A₁ es el primer término y An es el enésimo término.

En este caso, nos dicen que Sn = 155 y que A₁ = 2.

Vamos a despejar An:

..... 155 = (1/2) (2+An) * n

..... (155*2)/n = 2 + An

..... 310/n - 2 = An

Por otra parte, tenemos la fórmula del enésimo término:

==============

An = A₁ + (n-1) * r

============== ....................... donde "r" es la razón o diferencia común.

Sustituyendo valores conocidos:

..... An = 2 + (n-1) * 3

..... An = 2 + 3n - 3

..... An = 3n - 1

En las dos ecuaciones tenemos despejada An; podemos igualar:

..... 310/n - 2 = 3n - 1 ................. << Multiplicamos ambos lados por n >>

..... 310 - 2n = 3n² - n

..... 3n² + n - 310 = 0

Usamos la fórmula de la resolvente cuadrática

http://2.bp.blogspot.com/-3kbr36Ub7EI/Ul1Z7sAIfQI/...

..... n = { -1 ± √[1 - 4*3*(-310)] } / (2*3)

..... n = { -1 ± √3721 } / 6

..... n = { -1 ± 61 } / 6

Tenemos dos soluciones:

..... n₁ = { -1 + 61 } / 6

..... n₁ = 60/6

..... n₁ = 10

..... n₂ = { -1 - 61 } / 6

..... n₂ = -62/6

Pero no tiene sentido que el número de términos sea negativo,

por lo que la solución correcta debe ser n₁ = 10

======================

Respuesta:

..... Deben sumarse los 10 primeros términos.

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Answer 3

51

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Answer 4

ll//

Fórmula de la suma

S(n) = (a(1) + a(n)) * n /2

datos

a(1) = 2

d = 3

s(n) = 155

Necesitamos el último término

a(n) = a(1) + d(n-1)

a(n) = 2 + 3(n-1) <------------ reemplazamos en la 1er fórmula

S(n) = (a(1) + (2+3(n-1)) * n /2

Vamos reemplazando los valores que tenemos y simplificando

S(n) = (2 + 2 + 3n - 3) * n /2

155 = (1 + 3n) * n /2

155*2 = n + 3n^2

Igualamos a 0 para resolver la cuadrática

3n^2 + n - 310 = 0

factorizando

(n - 10) (3n + 31) = 0

(n - 10) (n + 31/3) = 0

n₁ = 10 <--------- tomamos el valor positivo

n₂ = - 31/3

Rta Se deben sumar 10 términos

Comprobación

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 155 <-------- ✌☺

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