¿Progresiones aritméticas.?

El primer termino de una progresion aritmetica es 2 con una diferencia comun de 3. cuantos terminos debe sumar para que obtengamos 155. Agradezco cualquier colaboración.

4 respuestas

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  • Dinis
    Lv 7
    hace 4 años
    Mejor Respuesta

    a1 es el primer término, o sea 2

    la diferencia es 3

    la suma es 155

    la regla de una progresión aritmética es

    a1+(n-1)d

    2+(n-1)3

    2+3n-3

    an = 3n-1

    la fórmula de la suma de una progresión aritmética es

    (a1+an)n/2

    (2+an)n/2 = 155

    (2+an)n = 155*2

    (2+an)n = 310

    2+an = 310/n

    an = 310/n-2

    igualamos los valores de an

    3n-1 = 310/n-2

    3n-1+2 = 310/n

    3n+1 = 310/n

    (3n+1)n = 310

    3n²+n = 310

    3n²+n-310 = 0

    a=3

    b=1

    c=-310

    n=[-b±√b²-4ac]/(2a)

    n=[-1±√1-4*3*(-310)](2*3)

    n=[-1±√1+3720]6

    n=[-1±√3721]/6

    n=[-1±61]/6

    n1=[-1-61]/6 = -62/6 la descartamos por negativa, porque la suma es positiva

    n2=[-1+61]/6 = 60/6 = 10

    Respuesta: Debe sumar 10 términos para obtener 155

    comprobando

    el término 10 es

    3n-1 = 3*10-1 = 30-1 = 29

    la suma es

    (a1+an)n/2 =

    (2+29)*10/2 =

    (31)*10/2 =

    310/2 = 155

  • EGPRC
    Lv 6
    hace 4 años

    La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

    =================

    Sn = (1/2) (A₁ + An)*n

    ================= ............... donde A₁ es el primer término y An es el enésimo término.

    En este caso, nos dicen que Sn = 155 y que A₁ = 2.

    Vamos a despejar An:

    ..... 155 = (1/2) (2+An) * n

    ..... (155*2)/n = 2 + An

    ..... 310/n - 2 = An

    Por otra parte, tenemos la fórmula del enésimo término:

    ==============

    An = A₁ + (n-1) * r

    ============== ....................... donde "r" es la razón o diferencia común.

    Sustituyendo valores conocidos:

    ..... An = 2 + (n-1) * 3

    ..... An = 2 + 3n - 3

    ..... An = 3n - 1

    En las dos ecuaciones tenemos despejada An; podemos igualar:

    ..... 310/n - 2 = 3n - 1 ................. << Multiplicamos ambos lados por n >>

    ..... 310 - 2n = 3n² - n

    ..... 3n² + n - 310 = 0

    Usamos la fórmula de la resolvente cuadrática

    http://2.bp.blogspot.com/-3kbr36Ub7EI/Ul1Z7sAIfQI/...

    ..... n = { -1 ± √[1 - 4*3*(-310)] } / (2*3)

    ..... n = { -1 ± √3721 } / 6

    ..... n = { -1 ± 61 } / 6

    Tenemos dos soluciones:

    ..... n₁ = { -1 + 61 } / 6

    ..... n₁ = 60/6

    ..... n₁ = 10

    ..... n₂ = { -1 - 61 } / 6

    ..... n₂ = -62/6

    Pero no tiene sentido que el número de términos sea negativo,

    por lo que la solución correcta debe ser n₁ = 10

    ======================

    Respuesta:

    ..... Deben sumarse los 10 primeros términos.

  • hace 4 años

    51

  • gatox
    Lv 7
    hace 4 años

    ll//

    Fórmula de la suma

    S(n) = (a(1) + a(n)) * n /2

    datos

    a(1) = 2

    d = 3

    s(n) = 155

    Necesitamos el último término

    a(n) = a(1) + d(n-1)

    a(n) = 2 + 3(n-1) <------------ reemplazamos en la 1er fórmula

    S(n) = (a(1) + (2+3(n-1)) * n /2

    Vamos reemplazando los valores que tenemos y simplificando

    S(n) = (2 + 2 + 3n - 3) * n /2

    155 = (1 + 3n) * n /2

    155*2 = n + 3n^2

    Igualamos a 0 para resolver la cuadrática

    3n^2 + n - 310 = 0

    factorizando

    (n - 10) (3n + 31) = 0

    (n - 10) (n + 31/3) = 0

    n₁ = 10 <--------- tomamos el valor positivo

    n₂ = - 31/3

    Rta Se deben sumar 10 términos

    Comprobación

    2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 155 <-------- ✌☺

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