¿Progresiones aritméticas.?
El primer termino de una progresion aritmetica es 2 con una diferencia comun de 3. cuantos terminos debe sumar para que obtengamos 155. Agradezco cualquier colaboración.
4 respuestas
- DinisLv 7hace 5 añosRespuesta preferida
a1 es el primer término, o sea 2
la diferencia es 3
la suma es 155
la regla de una progresión aritmética es
a1+(n-1)d
2+(n-1)3
2+3n-3
an = 3n-1
la fórmula de la suma de una progresión aritmética es
(a1+an)n/2
(2+an)n/2 = 155
(2+an)n = 155*2
(2+an)n = 310
2+an = 310/n
an = 310/n-2
igualamos los valores de an
3n-1 = 310/n-2
3n-1+2 = 310/n
3n+1 = 310/n
(3n+1)n = 310
3n²+n = 310
3n²+n-310 = 0
a=3
b=1
c=-310
n=[-b±√b²-4ac]/(2a)
n=[-1±√1-4*3*(-310)](2*3)
n=[-1±√1+3720]6
n=[-1±√3721]/6
n=[-1±61]/6
n1=[-1-61]/6 = -62/6 la descartamos por negativa, porque la suma es positiva
n2=[-1+61]/6 = 60/6 = 10
Respuesta: Debe sumar 10 términos para obtener 155
comprobando
el término 10 es
3n-1 = 3*10-1 = 30-1 = 29
la suma es
(a1+an)n/2 =
(2+29)*10/2 =
(31)*10/2 =
310/2 = 155
- EGPRCLv 6hace 5 años
La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
=================
Sn = (1/2) (A₁ + An)*n
================= ............... donde A₁ es el primer término y An es el enésimo término.
En este caso, nos dicen que Sn = 155 y que A₁ = 2.
Vamos a despejar An:
..... 155 = (1/2) (2+An) * n
..... (155*2)/n = 2 + An
..... 310/n - 2 = An
Por otra parte, tenemos la fórmula del enésimo término:
==============
An = A₁ + (n-1) * r
============== ....................... donde "r" es la razón o diferencia común.
Sustituyendo valores conocidos:
..... An = 2 + (n-1) * 3
..... An = 2 + 3n - 3
..... An = 3n - 1
En las dos ecuaciones tenemos despejada An; podemos igualar:
..... 310/n - 2 = 3n - 1 ................. << Multiplicamos ambos lados por n >>
..... 310 - 2n = 3n² - n
..... 3n² + n - 310 = 0
Usamos la fórmula de la resolvente cuadrática
http://2.bp.blogspot.com/-3kbr36Ub7EI/Ul1Z7sAIfQI/...
..... n = { -1 ± √[1 - 4*3*(-310)] } / (2*3)
..... n = { -1 ± √3721 } / 6
..... n = { -1 ± 61 } / 6
Tenemos dos soluciones:
..... n₁ = { -1 + 61 } / 6
..... n₁ = 60/6
..... n₁ = 10
..... n₂ = { -1 - 61 } / 6
..... n₂ = -62/6
Pero no tiene sentido que el número de términos sea negativo,
por lo que la solución correcta debe ser n₁ = 10
======================
Respuesta:
..... Deben sumarse los 10 primeros términos.
- torquemadaLv 7hace 5 años
ll//
Fórmula de la suma
S(n) = (a(1) + a(n)) * n /2
datos
a(1) = 2
d = 3
s(n) = 155
Necesitamos el último término
a(n) = a(1) + d(n-1)
a(n) = 2 + 3(n-1) <------------ reemplazamos en la 1er fórmula
S(n) = (a(1) + (2+3(n-1)) * n /2
Vamos reemplazando los valores que tenemos y simplificando
S(n) = (2 + 2 + 3n - 3) * n /2
155 = (1 + 3n) * n /2
155*2 = n + 3n^2
Igualamos a 0 para resolver la cuadrática
3n^2 + n - 310 = 0
factorizando
(n - 10) (3n + 31) = 0
(n - 10) (n + 31/3) = 0
n₁ = 10 <--------- tomamos el valor positivo
n₂ = - 31/3
Rta Se deben sumar 10 términos
Comprobación
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 155 <-------- ✌☺
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