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¿Integral de completacion de cuadrados o cuadrado perfecto ∫3x dx/ 9x^2-6x+5 paso a paso?

por favor es para un trabajo y no e tenido tiempo de estudiar max ptos para el que responda bien

1 respuesta

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  • hace 5 años
    Respuesta preferida

    Hola,

    ∫ 3x dx /(9x² - 6x + 5) =

    puesto que el denominador no tiene ceros reales, como primer paso tratemos de obtener en el numerador la derivada del denominador (es decir 9(2x) - 6 = 18x - 6) dividendo y multiplicando por 6:

    ∫ (1/6) (3 ∙ 6)x dx /(9x² - 6x + 5) =

    ∫ (1/6) [18x /(9x² - 6x + 5)] dx =

    completemos la derivada en el numerador restando y sumando 6:

    ∫ (1/6) {[(18x - 6) + 6] /(9x² - 6x + 5)} dx =

    (distribuyendo)

    ∫ (1/6) {[(18x - 6) /(9x² - 6x + 5)] + [6 /(9x² - 6x + 5)} dx =

    ∫ {(1/6)[(18x - 6) /(9x² - 6x + 5)] + (1/6)[6 /(9x² - 6x + 5)]} dx =

    (simplificando, luego partiendo en dos integrales y sacando la constante)

    ∫ {(1/6)[(18x - 6) /(9x² - 6x + 5)] + [1 /(9x² - 6x + 5)]} dx =

    (1/6) ∫ (18x - 6) dx /(9x² - 6x + 5) + ∫ dx /(9x² - 6x + 5) =

    (1/6) ∫ d(9x² - 6x + 5) /(9x² - 6x + 5) + ∫ dx /(9x² - 6x + 5) =

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + ∫ dx /(9x² - 6x + 5) =

    en la restante integral completemos el cuadrado en el denominador partiendo el 5 en 1 + 4:

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + ∫ dx /[(9x² - 6x + 1) + 4] =

    (escribiendo el denominador como suma de dos cuadrados)

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + ∫ dx /{[(3x - 1)² + 2²} =

    dividamos numerador y denominador por 2² para poner el denominador en la forma

    f(x)² + 1:

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + ∫ (1/2²) dx /{[(3x - 1)²/2²] + (2²/2²)} =

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + ∫ (1/2)² dx /{[(3x - 1)/2]² + 1} =

    saquemos 1/2 de la integral:

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + (1/2) ∫ (1/2) dx /{[(3x - 1)/2]² + 1} =

    dividamos y multipliquemos la integral por 3 para obtener en el numerador 3/2 que es la derivada de (3x - 1)/2 (ya que [(3x - 1)/2]' = [(1/2)(3x - 1)]' = (1/2)(3x - 1)' = (1/2)3 = 3/2 ):

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + (1/2)(1/3) ∫ 3(1/2) dx /{[(3x - 1)/2]² + 1} =

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + (1/6) ∫ (3/2) dx /{[(3x - 1)/2]² + 1} =

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + (1/6) ∫ d[(3x - 1)/2] /{[(3x - 1)/2]² + 1} =

    (siendo esta integral del tipo ∫ d[f(x)] /[f(x)² + 1] = arctan[f(x)] + C)

    (1/6) ln (9x² - 6x + 5) + (1/6)arctan[(3x - 1)/2] + C =

    concluyendo con:

    (1/6) {ln (9x² - 6x + 5) + arctan[(3x - 1)/2]} + C

    espero haber sido de ayuda

    ¡Saludos!

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