¿Me pueden ayudar con estos dos ejercicios de progresiones aritméticas?

Los encuentro difíciles. Quiero la forma más simple de hacerlos.

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  • hace 5 años
    Respuesta preferida

    Hola

    Para 3 términos de Progresión Aritmética

    a1

    a2 = a1 + d

    a3 = a1 + 2 d

    Se cumple

    a1 + a3 = a1 + a1 + 2 d = 2 a1 + 2 d = 2(a1 + d)

    a1 + a3 = 2 a2

    ******************

    1)

    Se cumple

    1a) a + c = 2 b

    ============

    Tenemos

    A = a^2 + b^2 + ab = a^2 + b^2 + 2ab - ab = (a + b)^2 - ab

    B = a^2 + c^2 + ac = a^2 + c^2 + 2ac - ac = (a + c)^2 - ac

    C = b^2 + c^2 + bc = b^2 + c^2 + 2bc - bc = (b + c)^2 - bc

    A + C = a^2 + b^2 + ab + b^2 + c^2 + bc

    A + C = a^2 + 2 b^2 + c^2 + a b + b c

    A + C = a^2 + c^2 + b (2 b + a + c)

    por 1a)

    A + C = a^2 + c^2 + b (2 b + 2 b)

    A + C = a^2 + c^2 + 4 b^2

    A + C = a^2 + c^2 + (2 b)^2

    A + C = a^2 + c^2 + (a + c)^2

    A + C = a^2 + c^2 + a^2 + c^2 + 2 a c

    A + C = 2 a^2 + 2 c^2 + 2 a c

    A + C = 2 (a^2 + c^2 + a c)

    A + C = 2 B

    ==========

    Efectivamente, A , B y C están en P.A.

    2)

    Suma_propuesta = n(3 n + 1)

    Suma_PA = (a1 + an) * n/2

    Suma_PA = (a1 + a1 + (n - 1) d) * n/2

    Suma_PA = (2 a1 + (n - 1) d) * n/2

    Suma_PA = n (a1 + (n - 1) (d/2) )

    Suma_PA = n ( (d/2) n + a1 - (d/2))

    Identificamos

    (d/2) = 3

    d = 6

    *******

    a1 - (d/2) = 1

    a1 - 3 = 1

    a1 = 4

    *********

    La P.A. pedida es

    4 , 10 , 16 , 22 , ....

    Verificamos

    S1 = 4

    S1 = 1 * (3*1 + 1) = 1*4 = 4

    S2 = 4 + 10 = 14

    S2 = 2 * (3*2 + 1) = 2*7 = 14

    S3 = 4 + 10 + 16 = 30

    S3 = 3 * (3*3 + 1) = 3*10 = 30

    S4 = 4 + 10 + 16 + 22 = 52

    S4 = 4 * (3*4 + 1) = 4*13 = 52

    Saludos

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