Juan preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 6 años

¿Considere el siguiente problema: se desea construir una caja con tapa abierta, utilizando una pieza cuadrada de cartón de 3 pies de ancho.?

Considere el siguiente problema: se desea construir una caja

con tapa abierta, utilizando una pieza cuadrada de cartón

de 3 pies de ancho, recortando un cuadrado en cada una de las

cuatro esquinas y doblando los costados. Encuentre el volumen

más grande que esa caja puede tener.

1 respuesta

Calificación
  • H EAT
    Lv 7
    hace 6 años
    Respuesta preferida

    ¡Hola!

    Denotando x el lado del cuadrado recortado en cada esquina y poniendo como V al volumen de la caja, se tiene lo siguiente:

    V = (3 - 2x) (3 - 2x) x

    V = (3 - 2x) (3x - 2x²)

    V = 9x - 6x² - 6x² + 4x³

    V = 9x - 12x² + 4x³

    Derivando para hallar el punto crítico, resulta

    V´ = 9 - 24x + 12x²

    Igualando a cero

    0 = 9 - 24x + 12x²

    12x² - 24x + 9 = 0

    x² - 2x + 3/4 = 0

    Haciendo para completar el trinomio cuadrado 2bx = - 2x, resulta b = - 1, b² = 1, luego

    x² - 2x + 1 - 1 + 3/4 = 0

    x² - 2x + 1 = 4/4 - 3/4

    (x - 1)² = 1/4

    x - 1 = ± 1/2

    x = 1 ± 1/2

    Por tanto, queda

    x1 = 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5

    x2 = 1 - 1/2 = 1/2 = 0.5

    Volviendo a derivar, da

    V" = - 24 + 24x

    lo cual confirma que el valor x2 = 0.5 es un máximo pues con x1 el volumen resulta nulo, tomando x2 y reemplazando, nos da

    V = 9 (0.5) - 12 (0.5)² + 4 (0.5)³

    V = 2 pies³

    ¡Saludos!

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