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¿HALLAR LA LONGITUD DEL ARCO (e^x + e^(-x))/2 limites de integracion x=-1 y x=1 5ESTRELLA?
HALLAR LA LONGITUD DEL ARCO (e^x + e^(-x))/2 limites de integracion x=-1 y x=1 5ESTRELLA?
gracias
3 respuestas
- EGPRCLv 6hace 7 añosRespuesta preferida
Recuerda que la fórmula de la longitud de arco de la función f(x), con límites de integración a y b, es:
∫ √[1+f'(x)^2] dx, integrando desde a hasta b.
En este caso, f(x) = [e^x + e^(-x)] /2.
Esta función se conoce como coseno hiperbólico (Cosh(x)).
Su derivada es el seno hiperbólico: [e^x - e^(-x)]/2 = Senh(x)
Aplicando la fórmula:
Longitud = ∫ √[1+(Senh(x))^2] dx, integrando desde -1 hasta 1.
Hay una propiedad, ligeramente diferente a la de los Sen y Cos normales, que dice que:
Cosh(x)^2 - Senh(x)^2 = 1.
Esto significa que:
1+Senh(x)^2 = Cosh(x)^2
Entonces:
Longitud = ∫ √(Cosh(x)^2) dx, integrando desde -1 hasta 1.
Longitud = ∫ |Cosh(x)| dx, integrando desde -1 hasta 1.
Tienes que saber también que todos los valores del rango de Cosh(x) son positivos (en la misma fórmula lo puedes deducir), por lo que puedes eliminar las barras de valor absoluto.
Longitud = ∫ Cosh(x) dx, integrando desde -1 hasta 1. ---> La derivada de Senh(x) es Cosh(x)
Longitud = Senh(x), evaluando desde -1 hasta 1.
Longitud = Senh(1) - Senh(-1)
***********************************
Senh(1) = (e^(1) - e^(-1))/2
Senh(-1) = (e^(-1) - e^(1))/2
***********************************
Longitud = [ e - e^(-1) - (e^(-1) - e) ] / 2
Longitud = [2e - 2e^(-1) ] / 2
Longitud = e - e^(-1)
*********************************
Respuesta:
Longitud = e - 1/e
