¿ayuda.................,Encontrar el volumen del solido obtenido?

Question

Encontrar el volumen del solido obtenido al hacer girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de las rectas especificadas.

Y = √(25-x^2 )		y = 0		x = 2	x = 4  Girar alrededor del eje x

Robertoroque · Accepted Answer

Estimado amigo, como el colaborador Carlos L utilizó el Método de Discos; yo resolveré el problema utilizando otros dos métodos en forma combinada.
Para ello se ha dividido la Región a girar en dos regiones R₁ y R₂, como se muestra en la suguiente figura (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/ayuda-encontra-el-volumen-del-solido-obtenido-870898.png

el volumen V₁ de la región R₁ se calculará utilizando en Método de Casquillos Cilíndricos y el volumen V₂ de la región R₂ se calculará utilizando el Teorema de Pappus para Volúmenes.

Volumen de la Región R₁:
————————————

⌠y₂
V = 2π│r(f(y) - g(y))dy
      ⌡y₁

siendo:

y₁ = 3
y₂ = √(21)
r = y
f(y) = √(25 - y²)
g(y) = 2

sustituimos en la integral, desarrollamos y calculamos:

⌠√(21)
V₁ = 2π│y(√(25 - y²) - 2)dy ⇒
       ⌡3

⌠√(21)
V₁ = 2π│(y√(25 - y²) - 2y)dy ⇒
       ⌡3

√(21)
V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - y²)³ - y²] ⇒
                        3

V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - √(21)²)³ - √(21)² + (1/3)√(25 - 3²)³ + 3²] ⇒

V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - 21)³ - 21 + (1/3)√(25 - 9)³ + 9] ⇒

V₁ = 2π[(-1/3)√(4)³ - 21 + (1/3)√(16)³ + 9] ⇒

V₁ = 2π[(-1/3)√(64) - 21 + (1/3)√(4096) + 9] ⇒

V₁ = 2π[(-1/3)8 - 21 + (1/3)64 + 9] ⇒

V₁ = 2π(-8/3 - 21 + 64/3 + 9) ⇒

V₁ = 2π(56/3 - 12) ⇒

V₁ = 2π(56/3 - 36/3) ⇒

V₁ = 2π(20/3) ⇒

V₁ = 40π/3

Volumen de la Región R₂:
————————————

Como dijimos anteriormente, para hallar este volumen; utilizaremos el Teorema de Pappus para Volúmenes: "El volumen V de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área A por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje."

sabemos que el centroide de la Región R₂ se ubica en el punto (3,1.5)

por lo tanto, el radio de giro del centroide con respecto al eje X es r₂ = 1.5; entonces:

V₂ = 2πr₂A₂ ⇒

V₂ = 2π(1.5)(2)(3) ⇒

V₂ = 18π

El volumen total V de las dos regiones, será la suma de los volúmenes V₁ y V₂. Por lo tanto:

V = V₁ + V₂ ⇒

V = 40π/3 + 18π ⇒

V = 40π/3 + 54π/3 ⇒

V = 94π/3 ≈ 98.4366 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!

Carlos L · Answer

f(x) = √(25-x²)

La fórmula girando sobre el eje x es:
 . b 
π ∫ [f(x)]² dx
 . a

*****************
En tu caso
 . 4 
π ∫ [√(25-x² )]² dx =
 . 2

. 4 
π ∫ || 25-x² || dx =
 . 2

. 4 
π ∫ (25-x²) dx =
 . 2

. . . . . . . . 4 
π[25x-x³/3] [ = π[25(4)-(4)³/3] - π[25(2)-(2)³/3] = π[25(4)-(4)³/3 - 25(2)+(2)³/3] =
 . . . . . . . . 2

π[100-64/3 - 50+8/3] = π[50-56/3] = π[50-56/3] = π[94/3] ≈ 98.44

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