¿ayuda.................,Encontrar el volumen del solido obtenido?

Encontrar el volumen del solido obtenido al hacer girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de las rectas especificadas.

Y = √(25-x^2 ) y = 0 x = 2 x = 4 Girar alrededor del eje x

2 respuestas

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  • hace 7 años
    Respuesta preferida

    Estimado amigo, como el colaborador Carlos L utilizó el Método de Discos; yo resolveré el problema utilizando otros dos métodos en forma combinada.

    Para ello se ha dividido la Región a girar en dos regiones R₁ y R₂, como se muestra en la suguiente figura (por favor aumenta el zoom):

    http://www.subeimagenes.com/img/ayuda-encontra-el-...

    el volumen V₁ de la región R₁ se calculará utilizando en Método de Casquillos Cilíndricos y el volumen V₂ de la región R₂ se calculará utilizando el Teorema de Pappus para Volúmenes.

    Volumen de la Región R₁:

    ————————————

          ⌠y₂

    V = 2π│r(f(y) - g(y))dy

          ⌡y₁

    siendo:

    y₁ = 3

    y₂ = √(21)

    r = y

    f(y) = √(25 - y²)

    g(y) = 2

    sustituimos en la integral, desarrollamos y calculamos:

           ⌠√(21)

    V₁ = 2π│y(√(25 - y²) - 2)dy ⇒

           ⌡3

           ⌠√(21)

    V₁ = 2π│(y√(25 - y²) - 2y)dy ⇒

           ⌡3

                            √(21)

    V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - y²)³ - y²] ⇒

                            3

    V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - √(21)²)³ - √(21)² + (1/3)√(25 - 3²)³ + 3²] ⇒

    V₁ = 2π[(-1/3)√(25 - 21)³ - 21 + (1/3)√(25 - 9)³ + 9] ⇒

    V₁ = 2π[(-1/3)√(4)³ - 21 + (1/3)√(16)³ + 9] ⇒

    V₁ = 2π[(-1/3)√(64) - 21 + (1/3)√(4096) + 9] ⇒

    V₁ = 2π[(-1/3)8 - 21 + (1/3)64 + 9] ⇒

    V₁ = 2π(-8/3 - 21 + 64/3 + 9) ⇒

    V₁ = 2π(56/3 - 12) ⇒

    V₁ = 2π(56/3 - 36/3) ⇒

    V₁ = 2π(20/3) ⇒

    V₁ = 40π/3

    Volumen de la Región R₂:

    ————————————

    Como dijimos anteriormente, para hallar este volumen; utilizaremos el Teorema de Pappus para Volúmenes: "El volumen V de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área A por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje."

    sabemos que el centroide de la Región R₂ se ubica en el punto (3,1.5)

    por lo tanto, el radio de giro del centroide con respecto al eje X es r₂ = 1.5; entonces:

    V₂ = 2πr₂A₂ ⇒

    V₂ = 2π(1.5)(2)(3) ⇒

    V₂ = 18π

    El volumen total V de las dos regiones, será la suma de los volúmenes V₁ y V₂. Por lo tanto:

    V = V₁ + V₂ ⇒

    V = 40π/3 + 18π ⇒

    V = 40π/3 + 54π/3 ⇒

    V = 94π/3 ≈ 98.4366 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

    Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!

  • hace 7 años

    f(x) = √(25-x²)

    La fórmula girando sobre el eje x es:

    . b

    π ∫ [f(x)]² dx

    . a

    *****************

    En tu caso

    . 4

    π ∫ [√(25-x² )]² dx =

    . 2

    . 4

    π ∫ || 25-x² || dx =

    . 2

    . 4

    π ∫ (25-x²) dx =

    . 2

    . . . . . . . . 4

    π[25x-x³/3] [ = π[25(4)-(4)³/3] - π[25(2)-(2)³/3] = π[25(4)-(4)³/3 - 25(2)+(2)³/3] =

    . . . . . . . . 2

    π[100-64/3 - 50+8/3] = π[50-56/3] = π[50-56/3] = π[94/3] ≈ 98.44

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