¿hola me podria ayudar con unos ejercicios de sólidos de revolucion?

Question

determinar el volumen del solido obtenido al hacer girar la region R limitada por y= 4-x^2 y=0 quiero el procedimiento porfiiiiss

1) alrededor de Y= -3

2) alrededor de la recta Y=7

GRACIAS

Answer 1

Respuesta preferida

Estimada amiga, por el tiempo que queda; te ayudaré con el problema número 1).

En el siguiente link se muestra la Región a girar (para agrandar la imagen puedes hacer click dentro de ella):

http://www.subirimagenes.com/imagen-mepdorianayuda...

como ves, el elemento diferencial seleccionado es paralelo al eje de giro, que en este caso es la recta y=-3. Lo anterior indica que utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos. Como trabajaremos con la rama positiva de la raíz, es necesario multiplicar la integral por 2 para obtener el volumen total.

A continuación la integral y los cálculos necesarios para obtener el volumen V de revolución:

         ⌠y₂

V = (2)2π│r(fy)dy

         ⌡y₁

siendo:

y₁ = 0

y₂ = 4

r = y + 3

f(y) = √(4 - y)

sustituimos en la integral, desarrollamos y calculamos:

       ⌠4

V = 4π│(y + 3)√(4 - y)dy ⇒

       ⌡0

       ⌠4

V = 4π│(y√(4 - y) + 3√(4 - y))dy ⇒

       ⌡0

                                                  4

V = 4π((-6y/15)√(4 - y)³ - (16/15)√(4 - y)³ - 2√(4 - y)³) ⇒

                                                  0

V = 4π[((-6(4)/15)√(4 - 4)³ - (16/15)√(4 - 4)³ - 2√(4 - 4)³) + (6(0)/15)√(4 - 0)³ + (16/15)√(4 - 0)³ + 2√(4 - 0)³ ⇒

V = 4π[0 - 0 - 0 + 0 + (16/15)√(64) + 2√(64)] ⇒

V = 4π[(16/15)(8) + 2(8)] ⇒

V = 4π(128/15 + 16) ⇒

V = 4π(128/15 + 240/15) ⇒

V = 4π(368/15) ⇒

V = 1472π/15 ≈ 308.3 Unidades de Volumen     → RESPUESTA EJERCICIO 1)

NOTA: verificado con el Programa Autocad

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!