Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 7 años

¿ayuda para resolver en algebra lineal: Utiliza la ecuación recta y del plano en el espacio para la solución de?

Muestre que la linea

(x+1)/2= - (y-3)/1=(z+2)/3

Es paralela al plano 3x + 3y –z +k =0 Encuentre k tal que el plano contenga la linea.

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  • hace 7 años
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    Vector director de la recta:

    D = (2, -1, 3)

    Vector normal del plano:

    N = (3, 3, -1)

    Si la recta es paralela al plano, entonces el vector normal al plano es también normal a la recta, en ese caso el producto escalar entre ellos es 0.

    D*N = 0

    (2, -1, 3)*(3, 3, -1) =

    = 2*3 + (-1)*3 + 3*(-1)

    = 6 - 3 - 3

    = 0 DEMOSTRADO.

    Ahora debemos introducir la recta en la ecuación del plano, para ello despejamos una de las variables en la recta y la introducimos en el plano (también podemos utilizar la ecuación paramétrica de la recta.)

    (x + 1)/2 = -y + 3

    x + 1 = -2y + 6

    x = -2y + 5

    -y + 3 = (z + 2)!3

    z + 2 = -3y + 9

    z = -3y + 7

    Ahora introduzco estas ecuaciones en el plano y dejo todo en función de y, para lograr que la recta esté incluida en el plano, es necesario que la variable desaparezca, luego hallar el valor d k que cumpla la ecuación obtenida.

    3(-2y + 5) + 3y - (-3y + 7) + k = 0

    -6y + 15 + 3y + 3y - 7 + k = 0

    -6y + 3y + 3y + 15 - 7 + k = 0

    8 + k = 0 (SE VERIFICA QUE k NO DEPENDE DE NINGUNA VARIABLE)

    k = -8 (OBTENEMOS EL VALOR DE K.)

    Entonces el plano en cuestión es:

    3x + 3y - z - 8 = 0

    Nota: Gracias por mandarme el mensaje. Tienes razón, cometí un error que ya corregí (erróneamente multiplique al 7 por (-3) ). Pero tu forma de resolverlo es inexacta, ya que con lo que hiciste solo aseguras que el punto que obtuviste pertenece al plano, no toda la recta.

    De la forma en que lo resolví me aseguro que toda la recta pertenezca al plano (habiendo corregido mi error previamente).

    Saludos, Roberto.

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