Juan preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 8 años

¿Ángulo entre dos vectores?

Me dan 4 puntos en R3 para saber si forman un paralelogramo, me dan igual los lados dos a dos y y me dan que son paralelos dos a dos pero a la hora de sacar los ángulos entre ellos, y al tener en cuenta que la suma de los ángulos internos debe ser de 360 me dan los ángulos 35,26° quiere decir entonces que no es un paralelogramo o estoy sacando mal los ángulos. Los puntos son P(-2,1,-3),Q(0,3,-1),R(2,-1,3),S(4,1,5)

Si alguien puede despejar mi duda se lo agradezco.

1 respuesta

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  • hace 8 años
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    Hola

    Primero, hay que saber

    si los 4 puntos están en un plano

    para saber si tenemos una figura plana...

    Otro enfoque es revisar las direcciones de las rectas

    formadas tomadas en pares de puntos.

    Si no son paralelas, buscamos intersección

    PQ

    Dpq = ((0) - (-2)) i + ((3) - (1)) j + ((-1) - (-3)) k

    Dpq = 2 i + 2 j + 2 k

    ó

    Dpq = i + j + k

    RS

    Drs = ((4) - (2)) i + ((1) - (-1)) j + ((5) - (3)) k

    Drs = 2 i + 2 j + 2 k

    ó

    Drs = i + j + k

    ===============================

    recta PQ

    r = (-2,1,-3) + u (1,1,1)

    recta RS

    r = (2,-1,3) + v(1,1,1)

    Igualamos las 2 primeras componentes

    y vemos si el tercer componente satisface.

    -2 + u = 2 + v

    1 + u = -1 + v

    si restamos

    -3 = 3

    Significa que NO hay intersección.

    Pueden ser rectas paralelas ó alabeadas.

    En realidad, son paralelas

    porque son paralelas sus 3 proyecciones

    (hemos calculado la proyección sobre el plano "xy")

    Confirmamos con las rectas PR y QS

    ==================================

    PR

    Dpr = ((2) - (-2)) i + ((-1) - (1)) j + ((3) - (-3)) k

    Dpr = 4 i - 2 j + 6 k

    ó

    Dpr = 2 i - j + 3 k

    QS

    Dqs = ((4) - (0)) i + ((1) - (3)) j + ((5) - (-1)) k

    Drs = 4 i - 2 j + 6 k

    ó

    Drs = 2 i - j + 3 k

    ===============================

    Efectivamente

    PR y QS son paralelas

    PQ y RS son paralelas

    Confirmamos que es un paralelogramo, una figura plana.

    Averigüemos la ecuación del plano.

    Una normal al plano es el producto vectorial

    de las 2 direcciones encontradas

    N = (i + j + k) x ( 2 i - j + 3 k)

    N = ( (1) (3) - (1) (-1) ) i + ( (1) (2) - (1) (3) ) j + ( (1) (-1) - (1) (2) ) k

    N = 4 i - j - 3 k

    Ecuación

    N .r = N ro

    Pobamos con el punto P

    4 x - y - 3 z = 4 (-2) - (1) - 3(-3)

    ============

    4 x - y - 3 z = 0

    ============

    Verificamos fácilmmente con los puntos Q,R,S

    Saludos

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