¿Como resolver un problema de profundidad aplicando la derivadas?

Una piscina tiene 12 metros de largo, 6 de ancho y una profundidad que oscila desde 1 hasta 3 metros. (https://pbs.twimg.com/media/BM1WGyaCEAEUuoY.jpg) Se bombea agua en ella a razón a 1/4 de metro cúbico por minuto y ya hay 1 m de agua en el extremo más profundo.

a) ¿Que porcentaje de la piscina esta lleno?

b) ¿A que razón se eleva el nivel del agua?

1 respuesta

Calificación
  • hace 7 años
    Mejor Respuesta

    Llamemos:

    L = largo = 12 m

    b = ancho = 6 m

    D = profundidad máxima = 3m

    d = profundidad mínima = 1m

    V = volumen total de la piscina

    v = volumen parcial de la piscina

    q = caudal de la bomba = 0.25 m³/min

    h = profundidad del agua en un determinado momento medida en el extremo más profundo

    x = longitud variable del espejo de agua desde h = 0 m hasta h = 2m , [entre h = 2m y 3m x = L = 12m]

    t = tiempo

    k = constante de llenado

    Hallamos la relación entre [x] y [h]

    Para h = 0 es x = 0

    Para h = 2 es x = 12

    x = (12/2) h

    x = 6h

    El Volumen total de agua que puede contener la piscina es:

    V = volumen del prisma triangular de (D - d) = 2m, L = 12 m, b = 6 m + volumen del prisma rectangular d = 1m, L = 12 m, b = 6m

    V = 0.5 (D- d) L b + d L b = 0.5 × 2 × 12 × 6 + 1 × 12 × 6 = 72 + 72 = 144 m³

    a) ¿Qué % de la piscina está lleno?

    Si ya hay 1 m de agua en el extremo más profundo, la longitud del espejo de agua es:

    x = 6 h = 6 ×1m = 6m

    El volumen de ese agua es:

    [1] v = 0.5 h x b = 0.5 h × 6 h × b = 3 b h²

    = 3 × 6 × 1² = 18 m³

    RESPUESTA a): El % de llenado es: 100×(18 /144) = 12.5%

    b) ¿A qué razón se eleva el nivel del agua?

    El volumen que ingresa a la piscina es:

    [2] v = q t

    b.1) Mientras el agua recorre la parte de fondo inclinado (desde h = 0 m hasta h = 2m)

    El volumen que ingresa a la piscina ocupa un prisma triangular según la fórmula [1] v = 3b h²

    Igualando [1] y [2]

    [3] q t = 3 b h²

    Despejando h en [3] resulta h = (qt/3b)¹/²

    definiendo la constante de llenado

    [4] k = (q/3b)¹/²

    resulta

    [5] h = k t¹/²

    Para hallar a qué razón se eleva el nivel del agua hay que encontrar cómo varía h por unidad de tiempo

    h = f(t)

    dh/dt = df(t)/dt

    Derivando en [5] con respecto al tiempo resulta;

    dh/dt = 0.5 k (1/t¹/²)

    Reemplazando por la definición [4] de k

    dh/dt = 0.5 (q/3b)¹/² × (1/t¹/²) = 0.5 (0.25 m³/min /3×6 m)¹/² × (1/t¹/²) = 0.0589 m/min¹/² × (1/t¹/²) 1/min¹/²

    RESPUESTA b.1) dh/dt = (0.0589/ t¹/²) m/min

    ¿Tiene sentido este resultado? Sí, porque a medida que se va llenando la piscina en la parte de fondo inclinado el nivel sube más lentamente porque el mismo caudal q = 0.25 m³/min se tiene que "dispersar" por una superficie cada vez más grande (x = 6 h) entonces el nivel sube más lentamente.

    b.2) Una vez que el agua llegó a D = 2m el fondo inclinado terminó y la piscina se sigue llenando como un prisma rectangular de base L×b y altura h

    [6] v = Lbh

    Igualando [2] y [6]

    qt = Lbh

    [7] h = (q/Lb) t

    Deriando [7] con respecto al tiempo

    dh/dt = q/Lb

    dh/dt = 0.25 m³/min /(12 m ×6 m) = 0.25/72 m/min

    RESPUESTA b.2) dh/dt = 0.00347 m/min

    Tiene sentido esta respuesta? Sí, por ser un prisma rectangular, la velocidad con la que aumenta la altura de agua no depende del tiempo, es una constante que resulta de dividir el caudal de entrada por la superficie del espejo del agua (L×b)

    Dato adicional...

    ¿Cuánto tarda en llenarse la parte del prisma triangular?

    Tiene un volumen de 72 m³

    El caudal de agua es q = 0.25 m³/min

    La fórmula [2] v = qt, entonces t = v/q = 72 m³/ (0.25 m³/min) = 288 min

    En el momento que justo se termina de llenar el prisma triangular: ¿a qué velocidad está aumentando la profundidad h?

    Según RESPUESTA b.1) dh/dt = (0.0589/ t¹/²) m/min = 0.0589/ (288)¹/² = 0.00347 m/min

    que, como corresponde ***coincide*** con la RESPUESTA b.2 dado que justo en ese momento la piscina deja de ser un prisma triangular para pasar a ser uno rectangular.

¿Aún tienes preguntas? Pregunta ahora para obtener respuestas.