¿Sólidos de revolución, ayuda!! Porfa?

Question

Como se hace esto es que no puedo... determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región encerrada por las curvas y=x e y=x^2 en torno al eje y=2?

Answer 1

Respuesta preferida

Estimado amigo, en el siguiente link se muestra la Región encerrada por las curvas indicadas (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/solidos-de-revoluc...

como ves, el elemento diferencial seleccionado es paralelo al eje de giro, que en este caso es la recta y = 2. Esto indica que utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos.

A continucación la integral para el cálculo del volumen V de revolución:

      ⌠y₂

V = 2π│r[g(y) - f(y)]dy

      ⌡y₁

siendo:

y₁ = 0

y₂ = 1

r = 2 - y

g(y) = √y

f(y) = y

sustituimos en la integral, desarrollamos y calculamos:

      ⌠1

V = 2π│(2 - y)(√(y) - y)dy ⇒

      ⌡0

      ⌠1

V = 2π│(2√(y) - 2y - y√(y) + y²)dy ⇒

      ⌡0

                                  1

V = 2π((4/3)√(y)³ - y² - (2/5)√(y)⁵ + y³/3) ⇒

                                  0

V = 2π((4/3)√(1)³ - 1² - (2/5)√(1)⁵ + 1³/3) ⇒

V = 2π(4/3 - 1 - 2/5 + 1/3) ⇒

V = 2π(5/3 - 1 - 2/5) ⇒

V = 2π(25/15 - 15/15 - 6/15) ⇒

V = 2π(4/15) ⇒

V = 8π/15 ≈ 1.6755 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

NOTA: cálculo verificado con el Programa Autocad 2012

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!