Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 8 años

¿como resuelvo problemas de solidos de revolucion?

hola quisiera saber como resolver este problema por favor!! doy 10 puntos!! dad la region acotada por 2x-x^2/5-y=0 , x=0 , y=5. Calcular el volumen al hacer girar respecto a la recta y=-x

por cierto sin doble integral ni centroides

2 respuestas

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  • hace 8 años
    Respuesta preferida

    Estimado amigo, en el siguiente link se muestra en color verde, la Región limitada por las curvas indicadas (por favor aumenta el zoom):

    http://www.subeimagenes.com/img/solido-de-revoluci...

    como el eje de giro no coincide con los ejes de coordenadas, entonces para aplicar los Métodos convencionales de Discos o de Casquillos Cilíndricos; es necesario hacer una rotación de los Ejes. Como el eje de giro forma 45° con el eje negativo de las x, entonces, procederemos a girar 45° los Ejes Coordenados. Recordemos que la rotación de ejes se basa en las siguientes ecuaciones:

    x = Xcos(Ø) - Ysen(Ø)

    y = Xsen(Ø) + Ycos(Ø)

    siendo:

    Ø = ángulo de giro

    X = nuevo eje abscisas

    Y = nuevo eje de ordenadas

    como Ø = 45°, entonces:

    x = Xcos(45) - Ysen(45) ⇒

    y = Xsen(45) + Ycos(45) ⇒

    x = X√(2)/2 - Y√(2)/2

    y = X√(2)/2 + Y√(2)/2

    transformamos primero x = 0:

    X√(2)/2 - Y√(2)/2 = 0 ⇒

    [√(2)/2](X - Y) = 0 ⇒

    X - Y = 0 / [√(2)/2] ⇒

    X - Y = 0 ⇒

    Y = X     → x = 0 en el sistema de ejes X-Y

    ahora transformamos y = 5:

    X√(2)/2 + Y√(2)/2 = 5 ⇒

    [√(2)/2](X + Y) = 5 ⇒

    X + Y = (2)(5)/√(2) ⇒

    Y = - X + 10√(2)/2 ⇒

    Y = - X + 5√(2) ⇒

    Y = - X + √(50)     → y = 5 en el sistema de ejes X-Y

    finalmente fransformamos 2x - x²/5 - y = 0:

    2(X√(2)/2 - Y√(2)/2) - (X√(2)/2 - Y√(2)/2)²/5 - (X√(2)/2 + Y√(2)/2) = 0

    eliminamos el primer y tercer paréntesis, desarrollamos el binomio cuadrado:

    X√(2) - Y√(2) - (X²/2 - XY + Y²/2)/5 - X√(2)/2 - Y√(2)/2 = 0

    multiplicamos todo por 10 (esto se hace para eliminar los denominadores):

    10X√(2) - 10Y√(2) - 2(X²/2 - XY + Y²/2) - 5X√(2) - 5Y√(2) = 0

    eliminamos el paréntesis que queda:

    10X√(2) - 10Y√(2) - X² + 2XY - Y² - 5X√(2) - 5Y√(2) = 0

    agrupamos:

    5X√(2) - 15Y√(2) - X² + 2XY - Y² = 0

    multiplicamos todo por -1 y ordenamos de otra forma:

    Y² + 15Y√(2) - 2XY + X² - 5X√(2) = 0

    factor común Y en los términos segundo y tercero:

    Y² + Y(15√(2) - 2X) + X² - 5X√(2) = 0     → 2x - x²/5 - y = 0 en el sistema de ejes X-Y

    si observamos bien la transformación anterior, vemos que es similar a una ecuación de segundo grado en la variable Y. Si aplicamos la fórmula general a esta ecuación obtenemos:

    Y = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

    siendo:

    a = 1

    b = (15√(2) - 2X)

    c = X² - 5X√(2)

    sustituimos (utilizaremos solo la rama positiva de la raíz):

    Y = [-(15√(2) - 2X) +√((15√(2) - 2X)² - 4(X² - 5X√(2)))] / 2(1) ⇒

    Y = [-15√(2) + 2X +√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2     → Y = f(X)

    Ahora representaremos las curvas en el nuevo sistema de ejes X-Y (por favor aumenta el zoom):

    http://www.subeimagenes.com/img/solido-de-revoluci...

    como ves, ahora la parábola es inclinada, la recta y=5 pasó a ser la recta Y = - X + √(50), la recta x=0 pasó a ser la recta Y = X, mientras que el eje de giro pasó a ser de la recta y=-x a la recta X = 0; lo que equivale al eje Y.

    Para el cálculo hallaremos primero el volumen V₁ del triángulo ABC al girarlo alrededor del eje Y, utilizando el Método de Discos. Luego hallaremos el volumen V₂ que se obtiene al girar la porción AC de la parábola inclinada. El volumen V solicitado será igual a la diferencia V₁ - V₂. Procedamos:

    Cáculo de V₁:

    ——————

          ⌠Y₂

    V₁ = π│[f(Y)² - g(Y)²]dY

          ⌡Y₁

    siendo:

    Y₁ = 0

    Y₂ = √(50)/2

    f(Y) = -Y + √(50)

    g(Y) = Y

    sustituimos en la integral, desrrollamos y calculamos:

          ⌠√(50)/2

    V₁ = π│[(-Y + √(50))² - Y²]dY ⇒

          ⌡0

          ⌠√(50)/2

    V₁ = π│(Y² - 2Y√(50) + √(50)² - Y²)dY ⇒

          ⌡0

          ⌠√(50)/2

    V₁ = π│(-2Y√(50) + 50)dY ⇒

          ⌡0

                        √(50)/2

    V₁ = π(-Y²√(50) + 50Y) ⇒

                        0

    V₁ = π(-(√(50)/2)²√(50) + 50√(50)/2) ⇒

    V₁ = π(-(25/2)√(50) + (50/2)√(50)) ⇒

    V₁ = π((25/2)√(50)) ⇒

    V₁ = 25π√(50)/2 ≈ 277.68 Unidades de Volumen

    ahora hallaremos el volumen V₂. Utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos:

    Cáculo de V₂:

    ——————

           ⌠X₂

    V₂ = 2π│rf(X)dX

           ⌡X₁

    siendo:

    X₁ = 0

    X₂ = √(50)

    r = X

    f(X) = [-15√(2) + 2X +√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2

    sustituimos en la integral y calculamos:

           ⌠√(50)

    V₂ = 2π│X[-15√(2) + 2X + √((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2]dX ⇒

           ⌡0

           ⌠√(50)

    V₂ = 2π│-15X√(2) + 2X² + x√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2]dX ⇒

           ⌡0

                                                               √(50)

    V₂ = 2π(X³/3 - 15X²√(2)/4 - (-16x² + 30X√(2) + 675)√(9/2 - 2X√(2)/5)/8 ⇒

                                                               0

    V₂ = 257√(2)π/12 ≈ 101.82

    entonces, el volumen solicitado es:

    V = V₁ - V₂ ⇒

    V = 277.68 - 101.82 ⇒

    V = 175.86 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

    NOTA: todos los cálculos se verificaron con el Programa Autocad 2012

    Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!

  • Anónimo
    hace 8 años

    bueno primero que nada debes hacer tu grafico luego seleccionas que representante escoger lo mejor en este caso es escoger un vertical ya que la ecuacion esta despejada para y entonces te faltaria ver que tipo de representante se forma al hacerlo girar. Al hacer girar tu figura se forman discos por consiguiente necesitas el radio y el espesor para hayar el volumen. el espesor en tu caso te lo proporciona el cambio en x y el radio te lo da la ecuacion 2x-x^2/5=y(despejada para y) entonces el volumen de tu figura sera la integral de 0 a 5 de( pi * radio^2 * dx) que seria:

    la integral de 0 a 5 de (pi(2x-x^2/5)^2 dx que es igual a pi( 4x^3/3 - (5x^12/5)/3+ (5x^9/5)/9) evaluado de 0 a 5 que es igual a 18.2012 unidades cubicas

    Fuente(s): yo XD
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