¿como resuelvo problemas de solidos de revolucion?

Question

hola quisiera saber como resolver este problema por favor!! doy 10 puntos!! dad la region acotada por 2x-x^2/5-y=0 , x=0 , y=5. Calcular el volumen al hacer girar respecto a la recta y=-x


por cierto sin doble integral ni centroides

Robertoroque · Accepted Answer

Estimado amigo, en el siguiente link se muestra en color verde, la Región limitada por las curvas indicadas (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/solido-de-revolucion-con-rotacion-de-ejes-584849.png

como el eje de giro no coincide con los ejes de coordenadas, entonces para aplicar los Métodos convencionales de Discos o de Casquillos Cilíndricos; es necesario hacer una rotación de los Ejes. Como el eje de giro forma 45° con el eje negativo de las x, entonces, procederemos a girar 45° los Ejes Coordenados. Recordemos que la rotación de ejes se basa en las siguientes ecuaciones:

x = Xcos(Ø) - Ysen(Ø)
y = Xsen(Ø) + Ycos(Ø)

siendo:

Ø = ángulo de giro
X = nuevo eje abscisas
Y = nuevo eje de ordenadas

como Ø = 45°, entonces:

x = Xcos(45) - Ysen(45) ⇒
y = Xsen(45) + Ycos(45) ⇒

x = X√(2)/2 - Y√(2)/2
y = X√(2)/2 + Y√(2)/2

transformamos primero x = 0:

X√(2)/2 - Y√(2)/2 = 0 ⇒

[√(2)/2](X - Y) = 0 ⇒

X - Y = 0 / [√(2)/2] ⇒

X - Y = 0 ⇒

Y = X     → x = 0 en el sistema de ejes X-Y


ahora transformamos y = 5:

X√(2)/2 + Y√(2)/2 = 5 ⇒

[√(2)/2](X + Y) = 5 ⇒

X + Y = (2)(5)/√(2) ⇒

Y = - X + 10√(2)/2 ⇒

Y = - X + 5√(2) ⇒

Y = - X + √(50)     → y = 5 en el sistema de ejes X-Y


finalmente fransformamos 2x - x²/5 - y = 0:

2(X√(2)/2 - Y√(2)/2) - (X√(2)/2 - Y√(2)/2)²/5 - (X√(2)/2 + Y√(2)/2) = 0

eliminamos el primer y tercer paréntesis, desarrollamos el binomio cuadrado:

X√(2) - Y√(2) - (X²/2 - XY + Y²/2)/5 - X√(2)/2 - Y√(2)/2 = 0

multiplicamos todo por 10 (esto se hace para eliminar los denominadores):

10X√(2) - 10Y√(2) - 2(X²/2 - XY + Y²/2) - 5X√(2) - 5Y√(2) = 0

eliminamos el paréntesis que queda:

10X√(2) - 10Y√(2) - X² + 2XY - Y² - 5X√(2) - 5Y√(2) = 0

agrupamos:

5X√(2) - 15Y√(2) - X² + 2XY - Y² = 0

multiplicamos todo por -1 y ordenamos de otra forma:

Y² + 15Y√(2) - 2XY + X² - 5X√(2) = 0

factor común Y en los términos segundo y tercero:

Y² + Y(15√(2) - 2X) + X² - 5X√(2) = 0     → 2x - x²/5 - y = 0 en el sistema de ejes X-Y

si observamos bien la transformación anterior, vemos que es similar a una ecuación de segundo grado en la variable Y. Si aplicamos la fórmula general a esta ecuación obtenemos:

Y = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

siendo:

a = 1
b = (15√(2) - 2X)
c = X² - 5X√(2)

sustituimos (utilizaremos solo la rama positiva de la raíz):

Y = [-(15√(2) - 2X) +√((15√(2) - 2X)² - 4(X² - 5X√(2)))] / 2(1) ⇒

Y = [-15√(2) + 2X +√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2     → Y = f(X)


Ahora representaremos las curvas en el nuevo sistema de ejes X-Y (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/solido-de-revolucion-con-rotacion-de-ejes1-584970.png

como ves, ahora la parábola es inclinada, la recta y=5 pasó a ser la recta Y = - X + √(50), la recta x=0 pasó a ser la recta Y = X, mientras que el eje de giro pasó a ser de la recta y=-x a la recta X = 0; lo que equivale al eje Y.

Para el cálculo hallaremos primero el volumen V₁ del triángulo ABC al girarlo alrededor del eje Y, utilizando el Método de Discos. Luego hallaremos el volumen V₂ que se obtiene al girar la porción AC de la parábola inclinada. El volumen V solicitado será igual a la diferencia V₁ - V₂. Procedamos:

Cáculo de V₁:
——————

      ⌠Y₂
V₁ = π│[f(Y)² - g(Y)²]dY
      ⌡Y₁

siendo:

Y₁ = 0
Y₂ = √(50)/2
f(Y) = -Y + √(50)
g(Y) = Y

sustituimos en la integral, desrrollamos y calculamos:

      ⌠√(50)/2
V₁ = π│[(-Y + √(50))² - Y²]dY ⇒
      ⌡0


      ⌠√(50)/2
V₁ = π│(Y² - 2Y√(50) + √(50)² - Y²)dY ⇒
      ⌡0


      ⌠√(50)/2
V₁ = π│(-2Y√(50) + 50)dY ⇒
      ⌡0


                    √(50)/2
V₁ = π(-Y²√(50) + 50Y) ⇒
                    0

V₁ = π(-(√(50)/2)²√(50) + 50√(50)/2) ⇒

V₁ = π(-(25/2)√(50) + (50/2)√(50)) ⇒

V₁ = π((25/2)√(50)) ⇒

V₁ = 25π√(50)/2 ≈ 277.68 Unidades de Volumen


ahora hallaremos el volumen V₂. Utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos:

Cáculo de V₂:
——————

       ⌠X₂
V₂ = 2π│rf(X)dX
       ⌡X₁

siendo:

X₁ = 0
X₂ = √(50)
r = X
f(X) = [-15√(2) + 2X +√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2

sustituimos en la integral y calculamos:

       ⌠√(50)
V₂ = 2π│X[-15√(2) + 2X + √((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2]dX ⇒
       ⌡0


       ⌠√(50)
V₂ = 2π│-15X√(2) + 2X² + x√((15√(2) - 2X)² - 4X² + 20X√(2))] / 2]dX ⇒
       ⌡0


                                                           √(50)
V₂ = 2π(X³/3 - 15X²√(2)/4 - (-16x² + 30X√(2) + 675)√(9/2 - 2X√(2)/5)/8 ⇒
                                                           0
V₂ = 257√(2)π/12 ≈ 101.82

entonces, el volumen solicitado es:

V = V₁ - V₂ ⇒

V = 277.68 - 101.82 ⇒

V = 175.86 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

NOTA: todos los cálculos se verificaron con el Programa Autocad 2012


Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!

Anónimo · Answer

bueno primero que nada debes hacer tu grafico luego seleccionas que representante escoger lo mejor en este caso es escoger un vertical ya que la ecuacion esta despejada para y  entonces te faltaria ver que tipo de representante se forma al hacerlo girar. Al hacer girar tu figura se forman discos por consiguiente necesitas el radio y el espesor para hayar el volumen. el espesor en tu caso te lo proporciona el cambio en x y el radio te lo da la ecuacion 2x-x^2/5=y(despejada para y) entonces el volumen de tu figura sera la integral de 0 a 5 de( pi * radio^2 * dx) que seria: 
la integral de 0 a 5 de (pi(2x-x^2/5)^2 dx que es igual a  pi( 4x^3/3 - (5x^12/5)/3+ (5x^9/5)/9) evaluado de 0 a 5 que es igual a 18.2012 unidades cubicas

¿como resuelvo problemas de solidos de revolucion?

2 respuestas