¿Calcular el volumen de revolucion?

Question

Bueno la ecuacion que me dan es

Considere la region limitada por la curva f(x) = x-x^(2)

y el eje x. Determine:

a) El area de la region

bueno como me piden en el eje x y no me dan restriccion.... me pierdo... deberia hacer la integral de 0 hasta el infinito?

y lo que es el area es la de arriba menos la de abajo.... pero en este la parabola esta en el lado negativo..... ayuda plis.

b)La integral que permite calcular el volumen que se genera al rotar la

region en torno a la recta x = 2.

Answer 1

Respuesta preferida

Estimado amigo, en el siguiente link se muestra la Región limitada por la curva y el eje X (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/calcular-el-volume...

Pregunta a) Halle el área A de la Región

    ₁

A = ∫₀ f(x)dx ⇒

    ₁

A = ∫₀ (x - x²)dx ⇒

             ₁

A = (x²/2 - x³/3)₀ ⇒

A = 1²/2 - 1³/3 ⇒

A = 1/2 - 1/3 ⇒

A = 3/6 - 2/6 ⇒

A = 1/6 ≈ 0.1667 Unidades de Area     → RESPUESTA PREGUNTA a)

Pregunta b) La integral que permite calcular el volumen que se genera al rotar la region en torno a la recta x = 2

utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos. A continuación la integral para el cálculo del volumen V de revolución. Eje de giro x = 2:

       ₁

V = 2π∫₀ (r)f(x)dx

siendo:

r = 2 - x

f(x) = x - x²

sustituimos en la integral:

       ₁

V = 2π∫₀ (2 - x)(x - x²)dx ⇒

       ₁

V = 2π∫₀ (2x - 2x² - x² + x³)dx ⇒

       ₁

V = 2π∫₀ (x³ - 3x² + 2x)dx ⇒

                  ₁

V = 2π(x⁴/4 - x³ + x²)₀ ⇒

V = 2π(1⁴/4 - 1³ + 1²) ⇒

V = 2π(1/4 - 1 + 1) ⇒

V = 2π(1/4) ⇒

V = 2π/4 ⇒

V = π/2 ≈ 1.5708 Unidades de Volumen     → RESPUESTA PREGUNTA b)

NOTA: el primer cálculo se verificó con el Programa Graph, y el segundo cálculo se verificó con el Programa Autocad

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!