¿progresion aritmetica?

los angulos de un triangulo estan en progresion aritmetica. si se sabe que el amyor de todos mide105|¿cuanto miden los otros 2?

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  • Anónimo
    hace 7 años
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    Buenas tardes Estrella, para resolver esta cuestión mírate la siguiente teoría:

    Progresión aritmética:

    Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

    a1 , a2 , a3 , a4 , .............................

    a2 – a1 = d

    a3 – a2 = d

    Término n-ésimo de una progresión aritmética:

    Si a1 , a2 , a3 , ... , an-1 , an, son los sucesivos términos de una progresión aritmética cuya diferencia es d, se pueden escribir las siguientes igualdades:

    a2 = a1 + d

    a3 = a2 + d = a1 + 2d

    a4 = a3 + d = a1 + 3d

    a5 = a4 + d = a1 + 4d

    ..................................................

    ..................................................

    an = an-1 + d = a1 + (n - 1) * d

    Es decir:

    El término n-ésimo, también llamado término general, de una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término la diferencia multiplicada por (n -1):

    an = a1 + (n - 1) * d

    Ahora vamos a resolver la cuestión que nos plantea:

    Los ángulos de un triangulo están en progresión aritmética. si se sabe que el mayor de todos mide105º ¿cuanto miden los otros dos ángulos?.

    Datos:

    a3 = 105º

    Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º.

    a1 + a2 + a3 = 180º ; a1 + a2 + 105º = 180º ; a1 + a2 = 180º – 105º ; a1 + a2 = 75º

    Tenemos la progresión aritmética:

    a1 , a2 , 105º

    se tiene que cumplir que:

    a2 – a1 = d ; a2 = d + a1

    a1 + a2 = 75º ; a1 + d + a1 = 75º ; 2 a1 + d = 75º

    Aplicamos la ecuación del término general:

    an = a1 + (n - 1) * d

    a3 = a1 + (3 – 1) * d = a1 + 2d

    105º = a1 + 2d

    Formamos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

    2 a1 + d = 75º

    a1 + 2d = 105º

    Resolvemos por método de sustitución que consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra ecuación para calcular el valor de una incógnita.

    Despejamos la d en la primera ecuación entonces nos queda:

    d = 75º - 2 a1

    Sustituimos en la segunda ecuación el valor de la diferencia:

    a1 + 2d = 105º ; a1 + 2 (75º – 2 a1) = 105º ; a1 + 150º – 4 a1 = 105º ; a1 – 4 a1 = 105º – 150º ; – 3 a1 = – 45º ; 3 a1 = 45º ; a1 = 45º/3 ; a1 = 15º

    Para calcular la diferencia de la progresión aritmética se sustituye el valor encontrado en la siguiente ecuación:

    d = 75º – 2 a1 = 75º – 2 * 15º = 75º – 30º = 45º

    Ahora determinamos el valor de a2 según la siguiente fórmula:

    a2 = d + a1 = 45º + 15º = 60º

    Conclusión: los otros dos ángulos del triángulo son: a1 = 15º y a2 = 60º.

    Espero que lo haya entendido

    Hasta la próxima

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