¿como calcular el volumen del solido de revolución?

Question

Generado al girar la región limitada por las rectas y=x y y=4x alrededor de la recta x=2, por el método de capas cilíndricas. Solo necesito plantear la integral.

Answer 1

Respuesta preferida

Apreciado amigo, en el siguiente link se muestra la Región a girar (por favor aumenta el zoom):

http://www.subeimagenes.com/img/calcular-volumen-d...

como ves, el elemento diferencial inidcado es paralelo al eje de giro, que en este caso es la recta x=2. Lo anterior inidca que utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos (como lo solicitas en el enunciado). A continuación la integral para el cálculo del volumen V de revolución:

      ⌠x₂

V = 2π│r(f(x) - g(x))dx

      ⌡x₁

siendo:

x₁ = 0

x₂ = 2

r = 2 - x

f(x) = 4x

g(x) = x

sustituimos en la integral:

      ⌠2

V = 2π│(2 - x)(4x - x)dx ⇒

      ⌡0

      ⌠2

V = 2π│(2 - x)(3x)dx ⇒

      ⌡0

      ⌠2

V = 2π│(6x - 3x²)dx ⇒

      ⌡0

             2

V = 2π(3x² - x³) ⇒

             0

V = 2π(3(2)² - 2³) ⇒

V = 2π(12 - 8) ⇒

V = 2π(4) ⇒

V = 8π ≈ 25.13 Unidades de Volumen     → RESPUESTA

NOTA: el cálculo se verificó con el Programa Autocad 2002

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!