CriXX
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CriXX preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 8 años

¿Como saber hacia donde converge la serie geometrica?

se que la serie converge para |r|<1 y diverge para |r|>=1, pero como puedo saber hacia donde converge exactamente??

2 respuestas

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  • hace 8 años
    Respuesta preferida

    Hola

    Veamos la serie finita

    S = a1 + a1 r + a1 r^2 + ....+ a1 r^(n-1))

    S = a1 (1 + r + r^2 + ....+ r^(n-1))

    tenemos una serie de potencias crecientes...

    Multiplicamos S por r

    S * r = a1 (r + r + r^2 + ....+ r^(n-1)+ r^n)

    Observamos que en esta suma todos los términos se comparten con S,

    SALVO 1 y r^n

    Entonces restamos S *r y S

    S*r - S = a1 (r^n - 1)

    S (r - 1) = a1 (r^n - 1)

    A = a1 (r^n -1 ) /(r -1)

    ====================

    Esta es la suma finita.

    Para que converja la serie infinita

    |r|<1

    porque

    r^n -> 0

    Para que diverja la serie infinita

    |r|>1

    porque

    r^n -> inf

    ======================================

    Nos queda, para la serie convergente

    S = a1 (-1)/(r - 1)

    ó

    *********************

    S = a1/(1 -r)

    *********************

    Por ejemplo

    S = 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + 2/81 + ...

    a1 = 2

    r = 1/3

    S = 2/(1 - (1/3)) = 2/(2/3) = 3

    saludos

  • hace 8 años

    Si tienes una serie de la forma Sumatoria de n=1 a infinito de ar^(n-1) es convergente si |r|<1 y su suma es a/1-r.

    Fuente(s): Cálculo: Trascendentes tempranas. James Stewart
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