¿Como saber hacia donde converge la serie geometrica?
se que la serie converge para |r|<1 y diverge para |r|>=1, pero como puedo saber hacia donde converge exactamente??
2 respuestas
- railruleLv 7hace 9 añosRespuesta preferida
Hola
Veamos la serie finita
S = a1 + a1 r + a1 r^2 + ....+ a1 r^(n-1))
S = a1 (1 + r + r^2 + ....+ r^(n-1))
tenemos una serie de potencias crecientes...
Multiplicamos S por r
S * r = a1 (r + r + r^2 + ....+ r^(n-1)+ r^n)
Observamos que en esta suma todos los términos se comparten con S,
SALVO 1 y r^n
Entonces restamos S *r y S
S*r - S = a1 (r^n - 1)
S (r - 1) = a1 (r^n - 1)
A = a1 (r^n -1 ) /(r -1)
====================
Esta es la suma finita.
Para que converja la serie infinita
|r|<1
porque
r^n -> 0
Para que diverja la serie infinita
|r|>1
porque
r^n -> inf
======================================
Nos queda, para la serie convergente
S = a1 (-1)/(r - 1)
ó
*********************
S = a1/(1 -r)
*********************
Por ejemplo
S = 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + 2/81 + ...
a1 = 2
r = 1/3
S = 2/(1 - (1/3)) = 2/(2/3) = 3
saludos
- hace 9 años
Si tienes una serie de la forma Sumatoria de n=1 a infinito de ar^(n-1) es convergente si |r|<1 y su suma es a/1-r.
Fuente(s): Cálculo: Trascendentes tempranas. James Stewart