¿Como saber hacia donde converge la serie geometrica?

Question

se que la serie converge para |r|<1 y diverge para |r|>=1, pero como puedo saber hacia donde converge exactamente??

Answer 1

Respuesta preferida

Hola

Veamos la serie finita

S = a1 + a1 r + a1 r^2 + ....+ a1 r^(n-1))

S = a1 (1 + r + r^2 + ....+ r^(n-1))

tenemos una serie de potencias crecientes...

Multiplicamos S por r

S * r = a1 (r + r + r^2 + ....+ r^(n-1)+ r^n)

Observamos que en esta suma todos los términos se comparten con S,

SALVO 1 y r^n

Entonces restamos S *r y S

S*r - S = a1 (r^n - 1)

S (r - 1) = a1 (r^n - 1)

A = a1 (r^n -1 ) /(r -1)

====================

Esta es la suma finita.

Para que converja la serie infinita

|r|<1

porque

r^n -> 0

Para que diverja la serie infinita

|r|>1

porque

r^n -> inf

======================================

Nos queda, para la serie convergente

S = a1 (-1)/(r - 1)

ó

*********************

S = a1/(1 -r)

*********************

Por ejemplo

S = 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + 2/81 + ...

a1 = 2

r = 1/3

S = 2/(1 - (1/3)) = 2/(2/3) = 3

saludos

Answer 2

Si tienes una serie de la forma Sumatoria de n=1 a infinito de ar^(n-1) es convergente si |r|<1 y su suma es a/1-r.

Fuente(s): Cálculo: Trascendentes tempranas. James Stewart