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¿tengo 1 problema en matematicas abanzadas!!! ayuda?

desconosco el origen del problema, fue dictado por mi profesor hector alguien podria ayudarme en el problema x favor es para mi examen !!!

Una fabrica decea hacer cajas con tapa para enviar su producto, para esto ará uso de piesas rectangulares de carton de 50 X 30 cm. cortando cuadros iguales en las 4 esquinas y doblando como lo ilustra el maestro al construir el modelo fisico del problema. ( mi profe no puso nada de models )

Encuentra la longitud del lado del cuadro que será cortado en cada esquina si se quiere obtener una caja que encierre el mayor valor posible.

si alguien save como hacer este problema les suplico q me ayuden gracias jejeje

1 respuesta

Calificación
  • H EAT
    Lv 7
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    ¡Hola!

    Dado que en la descripción del modelo se hace referencia a sólo 4 cortes cuadrados en las 4 esquinas, parece tratarse de una caja SIN tapa o con la tapa agregada de otro material. Siendo así el problema puede resolverse de la siguiente manera:

    Llamando x al lado del cuadrado a recortar en cada esquina del cartón, el área "A" de la base debe tener las siguientes dimensiones

    A = (50 - 2x) (30 - 2x) = 1500 - 100x - 60x + 4x²

    A = 1500 - 160x + 4x²

    Como la altura de la caja también es x, su volumen V = área de la base . altura, es

    V = (1500 - 160 + 4x²) x

    V = 1500x - 160x² + 4x³

    Derivando, se tiene

    V' = 1500 - 320x + 12x²

    Igualando a cero para encontrar el punto crítico

    0 = 1500 - 320x + 12x²

    12x² - 320x + 1500 = 0

    Ecuación cuadrática que por la resolvente nos da las raíces

    x1 = 20,59

    x2 = 6,06

    Descartando la primera por dar un volumen negativo (30 - 2x), y sacando la derivada segunda para ver que clase de punto encontramos, tenemos

    V" = - 320 + 24x

    que para el punto considerado (x = 6,06), el resultado es negativo, por lo cual el valor hallado para el volumen es máximo. luego se debe recortar en las 4 esquinas un cuadrado de 6,06 cm de lado.

    Saludos

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