¿Primeros pasos con funciones f(x)?

Buenas,

Tengo que determinar Dominio (Dom f) y Recorrido (Rec f) de f(x)=x/raiz(x+1), lo único que tengo medianamente claro es:

Dom f:{ x e R / x>-1 }

Rec f: ¿? (he intentado despejar "y" en y=x/raiz(x+1)), pero no llego.

Desde ya se agradece cualquier consejo.

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Bien, el dominio está perfecto. Para hallar el recorrido puedes usar la cualidad de que "el recorrido de una función es el mismo dominio de su inversa".

    Hallemos entonces la inversa de f(x) y luego buscamos su dominio. Ese será nuestro recorrido.

    y = x / √(x + 1)

    Invertimos primero las variables:

    x = y / √(y + 1)

    Y luego despejamos "y":

    x.√(y + 1) = y

    [ x.√(y + 1) ]² = y²

    x².[ √(y + 1) ]² = y²

    x².(y + 1) = y²

    x²y + x² = y²

    x² = y² - x²y

    Completemos trinomio cuadrado perfecto para las "y":

    x² = y² - x²y + (x^4 / 4) - (x^4 / 4)

    x² = [ y - (x² / 2) ]² - (x^4 / 4)

    x² + (x^4 / 4) = [ y - (x² / 2) ]²

    ± √[ x² + (x^4 / 4) ] = √[ y - (x² / 2) ]²

    ± √[ x² + (x^4 / 4) ] = y - (x² / 2)

    (x² / 2) ± √[ x² + (x^4 / 4) ] = y

    Esta es nuestra inversa. Ahora hallemos el dominio.

    x² + (x^4 / 4) >= 0

    x².[ 1 + (x² / 4) ] >= 0

    Así, o bien

    x² >= 0

    lo cual se cumple para cualquier valor de x (todo número elevado al cuadrado es positivo o 0); o bien

    1 + (x² / 4) >= 0

    x² / 4 >= -1

    x² >= - 4

    lo cual también se cumple para todos los valores de x. Esto significa que el dominio de la inversa NO tiene ninguna restricción, es el conjunto de todos los reales, y por tanto el recorrido de f(x) es ese mismo conjunto.

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