? preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿Hay va una muy díficil tengan cuidado, desigualdades?

Para todo x,y,z pertenecientes a los reales, demostrar la siguiente relación de desigualdad:

x^3 + y^3 + z^3 ≥ 3xyz

De antemano gracias,

2 respuestas

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    No es dificil si conoces la desigualdad media aritmética - media geométrica. Si no la conoces te refiero acá:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_de_las_me...

    Además te falto especificar que x,y,z son no-negativos porque de otra manera la afirmación es falsa. Toma por ejemplo x =y =0 y z = -1. El lado izquierdo es igual a -1 y el lado derecho es igual a 0 y ciertamente -1 no es mayor ni igual a cero.

    Asi que supongamos que x,y,z son no-negativos.

    Aplica la desigualdad con x_1 = x^3 , x_2 = y^3 , x_3 = z^3.

    Entonces:

    (x^3+y^3+z^3) / 3 >= (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)

    Pero (x^3*y^3*z^3)^(1/3) = ( (xyz) ^3)^(1/3) = xyz.

    Luego obtenemos:

    (x^3+y^3+z^3)/3 >= xyz

    Multiplicando ambos lados por 3:

    x^3+y^3+z^3 >= 3xyz

    Acabamos.

    Saludos

  • lou h
    Lv 7
    hace 1 década

    ¡No es cierto!

    Si x= -1 ; y= -2 ; z= -3

    x³+y³+z³= (-1)³ + (-2)³+ (-3)³= -36

    3xyz= 3·(-1)·(-2)·(-3)= -18 con -36 < -18

    ==> Existen x,y, z reales ,, x³+y³+z³ < 3xyz

    Saludos

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