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¿aplicaciones para calculo de volumnes y areas?

quiero calcular volumenes maximos y minimos con la derivada

1 respuesta

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  • H EAT
    Lv 7
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Tienes que poner la ecuación del volumen o del área que buscas en función de una sola variable y después derivas respecto a esa variable. Luego igualas esa ecuación a cero y despejas la variable; el valor que va a tener esa variable es el punto crítico de la función, que puede ser un máximo o un mínimo.

    Para determinar que clase de punto es, vuelves a derivar, y si la derivadasegunda es positiva el punto encontrado es un mínimo; y si la derivada segunda es negativa, el punto encontrado en la primera es un máximo.

    Reemplazando el valor de la variable hallado con la derivada priemera en la función original, tienes el área o volumen requerido.

    Si la derivada segunda se hace muy complicada, puedes hacer un análisis en un intervalo pequeño de la función, o sea agregando o quitando una pequeña fracciónpara ver si aumenta o disminuye la función y te establecerá la clase de punto encontrado.

    Ejemplo:

    Hallar las dimensiones de una caja cuadrada sin tapa de volumen máximo que se pueda construir con una lámina de cartón cuadrada de 18 x 18 cm, recortándole un cuadrado en cada esquina y plegándole los laterales.

    Solución:

    Siendo la lámina de cartón cuadrada y llamando x al lado del cuadrado a recortar en cada esquina, el área "A" de la base debe tener las siguientes dimensiones

    A = (18 - 2 x) (18 - 2 x) = (18 - 2 x)²

    A = 324 - 72 x + 4 x²

    Y como la altura de la caja también es x, su volumen V = área de la base . altura, es

    V = (324 - 72 x + 4 x²) . x

    V = 324 x - 72 x² + 4 x³

    V = 4 x³ - 72 x² + 324 x

    Derivando, se tiene

    V' = 12 x² - 144 x + 324

    Igualando a cero para encontrar el punto crítico

    12 x² - 144 x + 324 = 0

    Resolviendo esta ecuación cuadrática, nos da las raíces

    x1 = 9 & x2 = 3

    Descartando la primera por dar un volumen nulo, y sacando la derivada segunda para ver que clase de punto encontramos, tenemos

    V" = 24 x -144

    que para el punto considerado (x = 3), el resultado es negativo, por lo cual el valor encontrado para el volumen es máximo.

    En resumen, la longitud del lado del cuadrado a recortar debe medir 3 pulgadas por lado.

    Saludos.

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