jhasdnd preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿porfa necesito una gran ayuda en calculo?

Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm. a los que se les recortan las esquinas como indica la figura , y doblando a lo largo de las líneas punteadas.

a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea

máximo , así como también el valor de ese volumen máximo

Un productor dispone de 600 hectáreas aptas para sembrar.

Sabe que la ganancia total G en $ que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x , de acuerdo a la expresión:

G(x) = 2000x – 2x2

a) Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia.

2 respuestas

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  • H EAT
    Lv 7
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Siendo el cartón un cuadrado de 40 cm y llamando x al lado del cuadrado a recortar en cada esquina, el área "A" de la base debe tener las siguientes dimensiones

    A = (40 - 2x) (40 - 2x) = (40 - 2x)²

    A = 1600 - 160x + 4x²

    Y como la altura de la caja también es x, su volumen

    V = área de la base . altura

    V = (1600 - 160x + 4x²) . x

    V = 1600x - 160x² + 4x³

    V = 4x³ - 160x² + 1600x............[1]

    Derivando, se tiene

    V' = 12x² - 320x + 1600

    Igualando a cero para encontrar el punto crítico

    12x² - 320x + 1600 = 0

    Resolviendo esta ecuación cuadrática, nos da las raíces

    x1 = 20 & x2 = 6,66

    Descartando la primera por dar un volumen nulo, y sacando la derivada segunda para ver que clase de punto encontramos, tenemos

    V" = 24x - 320

    que para el punto considerado (x = 6,66), el resultado es negativo, por lo cual el valor encontrado para el volumen es máximo.

    En resumen, la longitud x, del lado del cuadrado a recortar debe medir 6,66 cm por lado, valor que sustituido en la ecuación [1] nos da un volumen de 4740,74 cm³.

    Siendo la función de la ganancia:

    G(x) = 2000x - 2x²

    Derivando nos queda

    G´(x) = 2000 - 4x

    igualando a cero nos queda

    0 = 2000 - 4x

    x = 2000/4

    x = 500

    Sacando la derivada segunda se tiene

    G"(x) = - 4

    que siendo negativa, el punto encontrado es un máximo, luego el productor obtendrá máxima ganancia sembrando 500 hectáreas.

    Saludos.

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  • hace 1 década

    LA SEGUNDA: iguala: 600=2000x-2x2

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