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ze preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿ecuacion del plano que pasa por el punto (5,,6,7), y es ortogonal al plano x+y+z=2.?

1 respuesta

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Estimado amigo, es importante mencionar que por el punto dado podemos pasar infinitos planos ortogonales al plano x+y+z=2. Hallaremos entonces una de esas soluciones.

    PASO 1

    Como primer paso, ubicaremos dos puntos cualesquiera P₁y P₂que pertenezcan al plano dado, para lo cual; podemos asignar valores cualesquiera a la componente x e y, determinando luego el valor de z, sustituyendo en la ecuación del Plano dado:

    P₁(1,2,Z1)

    sustituimos en el plano y hallamos Z1:

    x+y+z=2 =>

    1+2+Z1=2 =>

    Z1 = 2-2-1 =>

    Z1 = -1

    entonces:

    P₁(1,2,-1)

    ahora P₂:

    P₂(3,1,Z2)

    sustituimos en el plano:

    x+y+Z2=2 =>

    3+1+Z2=2 =>

    Z2 = 2-3-1 =>

    Z2 = -2

    entonces:

    P₂(3,1,-2)

    teniendo los puntos P₁y P₂podemos hallar la ecuación de la recta P₁P₂:

    vector de dirección v:

    v = P₂- P₁= (3-1,1-2,-2-(-1)) = (2,-1,-1)

    entonces, la ecuación vectorial del la recta P₁P₂es:

    P₁P₂= (1,2,-1) + t(2,-1,-1)

    PASO 2

    A continuación pasaremos una recta r paralela a la recta P₁P₂por el punto dado (5,6,7):

    r = (5,6,7) + t(2,-1,-1)

    PASO 3

    Tomamos el vector de dirección de la recta r como vector normal del Plano solicitado. Llamaremos a este plano π, entonces:

    π: 2x-y-z = N.P

    siendo

    N(2,-1-1)

    P(5,6,7)

    entonces:

    π: 2x-y-z = (2,-1-1).(5,6,7) =>

    π: 2x-y-z = (10)+(-6)+(-7) =>

    π: 2x-y-z = 10-6-7 =>

    π: 2x-y-z = -3 RESPUESTA

    en el siguiente link puedes apreciar la solución en forma gráfica (hecho con el Programa Derive, por favor aumenta el zoom):

    http://img59.imageshack.us/img59/2355/ecuaciondelp...

    Espero haber podido ayudarte. Saludos!

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