piipi preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿progresion aritmetica.. me ayudan..?!?

la suma de 4 terminos consecutivos de una progresion aritmetica es 28 y la suma de sus cuadrados es 276. Cuales son esos numeros..?

2 respuestas

Calificación
  • harry
    Lv 7
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    El termino general de una progresión aritmética es

    an = a1 + (n − 1)d

    a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)=28

    a(n)^2+a(n+1)^2+a(n+2)^2+a(n+3)^2=276

    reemplazando por el termino general

    a1+(n-1)*d + a1+(n+1-1)*d + a1+(n+2-1)*d + a1+ (n+3-1)*d=28

    agrupando las a1 y las d

    4*a1+d*(n-1+n+1-1+n+2-1+n+3-1)=28

    4*a1+d*(4n+2)=28

    y la segunda ecuación

    (a1+(n-1)*d)^2+(a1+(n+1-1)*d)^2+

    +(a1+(n+2-1)*d)^2+(a1+(n+3-1)*d)^2=276

    (a1+(n-1)*d)^2+(a1+n*d)^2+

    +(a1+(n+1)*d)^2+(a1+(n+2)*d)^2=276

    desarrollando los paréntesis

    a1^2+2*a1*(n-1)*d+((n-1)*d)^2+

    +a1^2+2*a1*n*d+(n*d)^2+

    +a1^2+2*a1*(n+1)*d+((n+1)*d)^2+

    +a1^2+2*a1*(n+2)*d)+(n+2)*d)^2=276

    y así seguir ....

    si tengo tiempo luego te lo termino

    Suerte

  • H EAT
    Lv 7
    hace 1 década

    Aplicando la fórmula de la suma de la progresión aritmética

    S = n/2 (a1 + an) a los valores consignados, tenemos

    28 = 4/2 (a1 + a4)

    a1 + a4 = 14

    a4 = 14 - a1..............(1)

    Por su parte la razón de la progresión viene dada por

    r = (an - a1) / (n -1), que reemplazando por los valores conocidos y por la ecuación (1) nos da

    r = (14 - a1 - a1) / (4 -1)

    r = (14 - 2a1) / 3............(2)

    Ahoraa considerando la suma de sus cuadrados tendremos

    a1² + a2² + a3² + a4² = 276

    Que sustituídos los términos en función del primero nos da

    a1² + (a1 + r)² + (a1 + 2r)² + (a1 + 3r)² = 276

    Desarrollando los cuadrados de los binomios queda

    a1²+a1²+2a1r+r²+a1²+4a1r+4r²+a1²+6a1r+9r² = 276

    4a1² + 12a1r + 14r² = 276

    Dividiendo por 2 para simplificar nos da

    2a1² + 6a1r + 7r² = 138

    Reemplazando r por su valor en (2) se tiene

    2a1² + 6a1 (14 - 2a1) / 3 + 7 (14 - 2a1)² / 9 = 138

    2a1² + 28a1 - 4a1² + 7/9 (196 - 56a1 + 4a1²) = 138

    2a1² + 28a1 - 4 a1 + 1372/9 - 392/9 a1 + 28/9 a1² = 138

    Reagrupando las a1 de igual potencia y restando 138

    28/9 a1² - 2a1² + 28 a1 - 392/9 a1 + 1372/9 - 138 = 0

    Unificando los denominadores para poder operar

    28/9 a1² - 18/9 a1² + 252/9 a1 - 392/9 a1 + 1372/9 - 1242/9 = 0

    10/9 a1² - 140/9 a1 + 130/9 = 0

    Ecuación cuadrática que con la resolvente nos da las raíces x1 = 13 y

    x2 = 1

    Tomando la segunda por ser la más lógica dado el valor de la suma y reemplazando en (1) nos deja

    a4 = 14 - 1 = 13

    y sustituyendo este valor en (2) se tiene

    r = (14 - 2) / 3 = 4

    Luego los términos de la progresión son 1, 5 , 9 y 13 cuya suma da 28 y la suma de sus cuadrados es 1 + 25 + 81 + 169 = 276

    Saludos.

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