¿Ayuda!!.. aplicaciones de derivadas!!?

Question

Demostrar que si se quiere construir un bote de hojalata cerrado en forma de cilindro circular recto de un litro de capacidad y gastar la menor cantidad posible de hojalata, se requiere que la altura sea igual al diámetro de la base.

Necesito ayuda para plantear el problema.. =D

Answer 1

Se trata de minimizar la superficie para un volumen cilíndrico capaz de contener 1 litro. La superficie de un cilindro es igual a al área de las 2 bases circulares más la superficie lateral que es un rectángulo de lado el perímetro de la circunferencia y altura la del cilindro.

S = 2 * (π r²) + 2 π r h = 2 π r² + 2 π r h

El volumen del cilindro es un tercio del área de la base por la altura y según el enunciado es para 1 litro. Es decir, 1 dm³

V = 1/3 π r² h = 1

h = 3/(π r²) ........................... [1]

Remplazando este valor de “h” en la ecuación de la superficie conseguimos poner ésta en función de una sola variable “r”:

S(r) = 2 π r² + 2 π r 3/(π r²) = 2 π r² + 6/r

Para hallar el valor del radio “r” que minimiza la superficie derivamos respecto a “r” e igualamos a cero:

S'(r) = 4 π r – 6/r² = 0

4 π r = 6/r²

r³ = 3/(2 π) ........................... [2]

r = [3/(2 π)]^(1/3)

Hallamos la derivada segunda para comprobar que el valor de “r” hallado corresponde a un mínimo.

S''(r) = 4 π + 12/r³ > 0 => Mínimo

Sólo nos falta probar que la altura “h” es igual al diámetro “2 r”. Teníamos en [1] esta relación:

h = 3/(π r²)

Elevando al cubo ambos miembros:

h³ = 3³/π³ 1/(r²)³ = 3³/π³ 1/(r³)²

Pero remplazando el valor de r³ de [2]:

h³ = 3³/π³ 1/[3/(2 π)]² = 3³/3² π²/π³ 4 = 4 3/π = 8 3/(2π) = 8 r³

h³ = 8 r³

► h = 2 r

Un saludo.