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¿Cuerpos finitos, elementos del anillo cociente?

En el anillo cociente Z3[x]/(2x^2+2x+1)

sus elementos son [0] [1] [2] [x] [x+1] [x+2] [2x] [2x+1] [2x+2]

pero no entiendo de donde salen, no se calcularlos, alguien me puede ayudar?

1 respuesta

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Por definición de anillo cociente un elemento de Z_3[x]/ <2x^2+2x+1> tiene la forma: p(x) + <2x^2+2x+1>.

    Donde p(x) es un polinomio con coeficientes en Z_3[x], luego

    p(x) es de la forma a_0 + a_1 x + a_2 x + ... + a_n x^n donde

    a_i son elementos de Z_3, 1<= i <=n.

    Nota que si p(x) es un polinomio de grado >= 2 entonces podemos dividir p(x) por 2*x^2+2x+1. Por el algoritmo de la división se tiene:

    p(x) = q(x)(2x^2+2x+1) + r(x) , donde q(x) es el cociente y r(x) es el residuo, ademas grado(r(x)) <= 1, es decir o bien r(x) es un polinomio constante o lineal.

    Además nota que q(x)(2x^2+2x+1) es un elemento de <2x^2+2x+1>.

    Luego p(x) + <2x^2+2x+1> = r(x). Asi realmente los polinomios que quedan en el anillo cociente son aquellos cuyo grado es menor o igual a 1.

    Asi p(x) es de la forma a_0 + a_1 x donde a_0, a_1 son elementos de Z_3. Ahora es cuestion de considerar todas las posibles combinaciones. En total habra 3*3 = 9 elementos.

    1) a_0 = 0 y a_1 = 0 lo que nos da [0].

    2) a_0 = 0 y a_1 = 1 lo que nos da [x]

    3) a_0 = 0 y a_1 = 2 lo que nos da [2x]

    4) a_0 = 1 y a_1 = 0 lo que nos da [1]

    5) a_0 = 1 y a_1 = 1 lo que nos da [x+1]

    6) a_0 = 1 y a_1 = 2 lo que nos da [2x+1]

    7) a_0 = 2 y a_1 =0 lo que nos da [2]

    8) a_0 = 2 y a_1 = 1 lo que nos da [x+2]

    9) a_0 = 2 y a_1 = 2 lo que nos da [2x+2]

    Espero te ayude.

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