¿Cómo resuelvo este problema de optimización?

Hola a todos! Necesito ayuda con este problema de optimización, creo saber cómo se resuelve, pero cuando derivo no obtengo un resultado coherente... El problema es este:

En un terreno cuya forma en el plano xy se puede describir por la relación 4y^2 = 36 - 9x^2 se desea construir una piscina rectangular. ¿Qué dimensiones le indicaría Ud al arquitecto si quiesiera que el espejo del agua tenga la mayor supericie posible?

Gracias desde ya!

2 respuestas

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    R: Raíz cuadrada de:

    Terreno: 4y^2= 36-9x^2; y=1/2* R:(36-9x^2)

    Área de la pileta rectangular:

    A=xy

    A=(1/2)*x*[R:(36-9x^2)]

    A'=(1/2) * {[R:(36-9x^2) - 9x^2/[R=(36-9x^2)]}

    A'=(1/2) * {[(36-9x^2) - 9x^2] /[R=(36-9x^2)]}; igualo a 0:

    0=[(36-9x^2) - 9x^2]

    36=18x^2

    2=x^2

    x=+-R2

    y=+-(3/2)*R2

    Las dimensiones de tu pileta serán: Para x: desde -R2 hasta +R2 y para y, desde -(3/2)R2 hasta +(3/2)R2.

    En definitiva: A máxima será:

    2R2*2*(3/2)R2=12unidades^2

    Tener en cuenta que el x máximo del terreno es + y -2 (valores mayores generarían un radicando negativo en R: (36-9x^2); en ese momento y=0. Cuando x=0, es y máximo, y=+ y -3. (El terreno tiene forma ovoidea vertical, y, por ende, el rectángulo de la pileta deberá ser vertical).

  • hace 1 década

    deriva la función (en función de x por ejemplo) e iguala a cero y tendrás tu área rectangular deseada.

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