Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasFísica · hace 1 década

¿como se podria plantear esto si no hay valores para las variables?

Se sostiene una cadena en una mesa con friccion, con una parte de ella

colgando sobre el borde. Si la longitud es L y su masa m, ¿cuanto trabajo se requiere para volver a colocar en la mesa la parte colgante?

2 respuestas

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Se deja expresado el modelo aplicado.

    Hipótesis:

    > el rozamiento sólo está aplicado en la superficie de la mesa, NO en su borde (es decir que despreciamos el roce del borde por la flexión de la cadena). Lo hago para simplificar, y no es tan loco porque podemos imaginar un borde redondeado dodne esto nos e note tanto.

    > la cadena tiene una masa uniformemente distribuida, su densidad lineal la llamo δ (para no usar ρ que suele usarse para la densidad volumétrica, que no necesitamos en este caso). δ = m/L

    Sea X la distancia del tramo de cadena que cuelga, el peso de dicho tramo genera una tracción en el resto de la cadena, pero no agrega peso a la superficie de apoyo, esto quiere decir que el peso de este tramo:

    Px = δ X g = m g X/L

    (donde g es la aceleración de la gravedad)

    es parte de la fuerza a vencer para subir la cadena totalmente a la mesa, pero no genera reacción por rozamiento.

    En cambio:

    P(L-x) = Pa = peso apoyado = δ (L-X) g = m g (L-X) / L

    genera una reacción normal de igual magnitud tal que la fuerza de rozamiento es:

    Fr = µ Pa = µ m g (L-X) / L

    Verticalmente la reacción de la mesa y el peso apoyado están en equilibrio, horizontalmente este equilibrio está dado por:

    Px - Fr = 0

    Si bien Px es vertical, acordate que dije que genera tracción, es decir que podemos imaginar que en el borde la cadena pasa por una poleíta sin rozamiento que desvía esta fuerza (es que de no poner esta hipótesis podríamos tener que suponer otro µ porque sin duda no es el mismo efecto de un borde marcado que el estar simplemente apoyado).

    m g X/L - µ m g (L-X) / L = 0

    m g / L > 0 entonces dividimos miembro a miembro por este producto (que es el peso total de la cadena distribuido en L) y despejamos.

    X = µ (L-X) => X = µ L - µ X => X = µ L / (1+µ)

    Ahora bien todo esto último es el valor particular de X que está en equilibrio con un µ estático, pero para plantear el trabajo tenés uina condición dinámica, entonces ahora llamamos x (minúscula) a la VARIABLE de la longitud colgate. Nos sirve todo lo anterior (casi):

    Para subir la cadena debemos aplicar:

    F = Px - Fr = m g x/L - µ m g (L-x) / L

    F = (m g / L) (x - µ L + µ x) = (mg/L) x (1+µ) - µ m g

    siendo en este caso el µ dinámico o cinético.

    Como F es variable, debemos plantear el trabajo en forma diferencial (y si te piden esto debés tener los conocimientos necesarios matemáticos):

    dW = F dx = (mg/L) x (1+µ) dx - µ m g dx

    W = ½ (mg/L) x² (1+µ) - µ m g x ] entre x=0 y x= X

    con lo cual, recordando que X es la medida del tramo de cadena que cuelga inicialmente se tiene:

    W = ½ (mg/L) X² (1+µ) - µ m g X = m g [ ½ X² (1+µ)/L - µ X ]

    ======================== ===================

    También se puede sacar X¹ del corchete, quedando en uno de los término dentro de él:

    W = m g X [ ½ X (1+µ)/L - µ ]

    =====================

    Espero que te sirva.

    Saludos!

  • NSG
    Lv 4
    hace 1 década

    Justamente planteándolo, usando letras para las variables.

    Te cuento que en general, no importan los resultados numéricos, sino el razonamiento, el planteo del problema. Y en general, es siempre mas claro plantearlo con letras que representen las distintas cantidades, y al final, reemplazar los números y dar el resultado numérico.

    Trata de plantearlo... sabes como hacerlo? Como lo harías si tuvieras efectivamente los valores que añoras?

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