¿Cómo se resuelve el siguiente ejercicio de derivadas?

Question

El ejercicio dice asi:

Hay que fabricar un recipiente de forma cilíndrica con base circular y cuyo volumen sea 32cm^3¿Qué dimensiones debe tener para que el material usado sea el mínimo?

Actualización:

Se debe tener en cuenta que el cilindro es con tapas en ambos extremos y que es obligatorio resolverlo con derivadas.....gracias

Answer 1

Respuesta preferida

Primero que nada debes saber que información tienes ya sea explícita o implícita: explícita es el volumen e implícita es el área que es lo que se desea minimizar, esto es:

Volumen = pi*(r^2)*h = 32 cm^3, donde r es el radio de la base circular y h es la altura del cilindro,

Área = 2*pi*(r^2) + 2*pi*r*h, donde r es el radio y es dos veces el área pues el cilindro debe estar cerrado por los dos extremos (supongo) y la segunda expresión es porque el área que resta es un rectángulo de lados h y 2*pi*r que es el perímetro de la base circular.

Teniendo esto, podemos despejar h del volumen, teniendo lo que sigue:

h = 32 / (pi*r^2)

despejamos en la ecuación del Área (A), y obtenemos una función cuadrática A(r) que depende del radio de la base circular, entonces:

A(r) = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*[32/(pi*r^2)], aqui observa que en la segunda expresión solo hay multiplicaciones y divisiones así que puedes dividir términos para simplificar, así pi se va con pi y una r se va con una r, quedándote al final una función de r la cual vas a minimizar usando cálculo:

A(r) = 2*pi*r^2 + 64/r

tomando la primer derivada obtenemos sus puntos críticos:

A'(r) = 4*pi*r - 64/r^2 = 0

entonces multiplicando por r ^2 tenemos:

4*pi*r^3 - 64 = 0, así el punto crítico aqui es:

r = raiz cúbica [64/(4*pi)] = raiz cúbica (16/pi)

así, sustituyendo en la ecuación para obtener h:

h=32/[pi*(raizcubica(16/pi))^2]

así, aproximadamente sus medidas serán:

r = 1.72050802766

y h = 3.441016055

verifícalo sustituyendo en la ecuación del volúmen okay ???, espero te sirva ciao!!!

Fuente(s): Yo, soy Matemático :P

Answer 2

en primer lugar, debes de saber que buscas que la superficie sea mínima para un volumen de 32 cm3.

La superficie será: 2*pi*r2(dos tapas)+h*2*pi*r(superficie lateral).

El volumen es: pi*r2*h (superficie de la base por altura).

Dejamos la superfice en función de una sola variable Ç(por ejemplo el radio r).

Superficie=2*pi*r2+(1/pi*r2)*2*pi*r=2*pi*r2+2/r

Para que sea mínima derivamos respecto a r e igualamos a 0.

f'(r)=4*pi*r-2/r2=0 ----->r=5'4cm....h=10cm

Si sustituyes: El volumen te sale 34.5cm3 (aproximaciones pierdes calidad) y la superfice es de 53 cm2.

Answer 3

hola

Suponemos un recipiente abierto ...

V = pi r^2 h

h = (V/pi) (1/r^2)

S = 2 pi r h + pi r^2

S/pi = 2 r h + r^2 = (2 V/pi) (1/r) + r^2

d(S/pi)/dr = - ( 2 V/pi) (1/r^2) + 2 r = 0

r = raiz_3 (V/pi)

h = (V/pi) (1/r^2) = raiz_3 (V/pi)

El cilindro

se obtiene como cuerpo

de revolucion de un cuadrado ...

saludos