Tres demostraciones de números complejos?
w es un número complejo distinto de 1, tal que w^3 = 1
a) Como se demuestra que 1, w y w^2 son raíces cúbicas de 1 ?
b) Demostrar (1 + w^2)^2 = w^2
c) Cuanto vale (1 - w) (1 - w^2) (1-w^5)
Creo que tengo la respuesta de a) pero no estoy segura. Intenté usar w^3 para reemplazar en b) pero no llego a nada definitivo. Para c creo que es necesario conocer a) y b).
Gracias
4 respuestas
- hace 1 décadaRespuesta preferida
a)
Que 1 es raiz sale inmediato.
w es obviamente raíz, pues por hipótesis w^3=1
w^2 es raíz porque (w^2)^3=w^6=w^3 * w^3=1*1=1
b) Comenzando por el miembro izquierdo, desarrollemos ese cuadrado:
(1+w^2)^2=1+2w^2+w^4
Como w^3=1 (por hipotesis), se tiene que
(1+w^2)^2=1+2w^2+w=1+w+w^2+w^2
1+w +w^2 es siempre cero, es una propiedad debido a la uniformidad en la distribución de las raices. El termino w^2 te da la otra raíz que no es ni w ni 1. Y eso hace que la suma de las 3 raices sea nula. Si no me crees simplemente podes comprobarlo. Suma las 3 raices (despues de calcularlas) y veras que te da cero.
Por lo tanto
(1+w^2)^2=w^2
c) Para simplificar ese w^5 fijate lo que hago ;)
w^5= w^3 * w^2 = w^2 , ya que w^3=1
Entonces queda:
(1 - w) (1 - w^2) (1-w^2)=(1 - w) (1 - w^2)^2=
=(1-w)(1-2w^2+w^4) =
(1-w)(1-2w^2+w)=
1-2w^2+w-w+2w^3-w^2=
1-3w^2+2=3-3w^2=
3*(1-w^2)
Aqui llegamos a un conflicto y me pregunto si copiaste bien el enunciado. No hay un error en algun signo?
Porque w^2 tiene 3 valores diferentes, uno para cada w. Estos ejercicios estan siempre pensados para que al resolver todo el despiole te quede w^3 y lo reducis a 1 ó que te quede 1+w+w^2 y lo reducis a cero. Pero aca, si no hay error al copiar, existen 3 posibles valores, y para sacarlos solo tendrias que reemplazar y hacer las cuentas numéricas, que son bien fáciles, ya esta todo masticado.
Suerte. Saludos
Dardo
Fuente(s): Conocimiento - hace 1 década
Si w^3=1, entonces w^3 -1=0
Luego 1 cumple con esta ecuación. Entonces nos queda
w^3 -1= (w-1) (w^2+w+1)=0. Ahora vamos a encontrar las otras dos raíces, (w^2+w+1)=0 Aplicando bascara tenemos
w1 = [ -1+Sqrt(1-4*1*1)]/2= [-1+Sqrt(-3)]/2
w1 = [-1+Sqrt(3)*i]/2
y w2= [-1-Sqrt(3)*i]/2
Notación (Sqrt = raíz cuadrada, i = a la i compleja)
Antes de continuar expliquemos el siguiente paso. cuando tenemos Sqrt (-a) con a un número real
Entonces Sqrt (-a) = Sqrt(-1) Sqrt (a)
Ahora Sqrt(-1) = {i,-i} ({i,-i} es un conjunto)
pues i^2 = -1 y (-i)^2 = -1.
Continuando con el ejercicio
w^3 -1= (w-1) (w^2+w+1) = (w-1) (w-w1) (w-w2) = 0
donde w1 y w2 son únicos dos números complejos distintos de 1 tales que son raíces cúbicas de la unidad, es decir,
w1^3 = 1 y w2^3=1
Ahora vamos a contestar las preguntas:
a)Como se demuestra que 1, w y w^2 son raíces cúbicas de 1 ?
1^3 =1
w^3=1 por la definición y por lo dicho anteriormente
vamos a probar que (w^2)^3=1
si w es distinto de 1, entonces w=w1 o w=w2
entonces w^2=(w1)^2 o w^2=(w2)^2
pero (w1)^2=w2 y (w2)^2=w1
entonces (w^2)^3=(w1)^3 = 1 o (w^2)^3=(w2)^3=1
b) Demostrar (1 + w^2)^2 = w^2
Tomemos w=w1 (es igual para w=w2), w^2=w2 y w^4=w1
entonces (1 + w^2)^2 =1+2*w^2+ w^4 = 1+2*w2+w1
=1+2((-1-Sqrt(3)*i)/2)+ (-1+Sqrt(3)*i)/2)
=1 - 1 - Sqrt(3)*i + (-1+Sqrt(3)*i)/2)
= -Sqrt(3)*i -1/2 + Sqrt(3)*i/2
= -Sqrt(3)*i -1/2 + Sqrt(3)*i/2
= -1/2 - Sqrt(3)*i/2 = w2 =w1^2
c) Cuanto vale (1 - w) (1 - w^2) (1-w^5)
Hacemos lo mismo que en b) tomamos w=w1 (es igual para w=w2)
w1^2=w2 y w1^5=w2
Entonces nos queda
(1 - w1) (1 - w1^2) (1-w1^5) = (1 - w1) (1 - w2) (1-w2)
multiplicando (1 - w1) (1 - w2) tenemos
1-(w2+w1)+w1w2, entonces w1+w2= -1 y w1*w2 = 1
luego 1-(w2+w1)+w1w2 = 1-1+1=1
así (1 - w1) (1 - w1^2) (1-w1^5) = (1-w2)
Espero que te sirva
Saludos
