Tres demostraciones de números complejos?

w es un número complejo distinto de 1, tal que w^3 = 1

a) Como se demuestra que 1, w y w^2 son raíces cúbicas de 1 ?

b) Demostrar (1 + w^2)^2 = w^2

c) Cuanto vale (1 - w) (1 - w^2) (1-w^5)

Creo que tengo la respuesta de a) pero no estoy segura. Intenté usar w^3 para reemplazar en b) pero no llego a nada definitivo. Para c creo que es necesario conocer a) y b).

Gracias

4 respuestas

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    a)

    Que 1 es raiz sale inmediato.

    w es obviamente raíz, pues por hipótesis w^3=1

    w^2 es raíz porque (w^2)^3=w^6=w^3 * w^3=1*1=1

    b) Comenzando por el miembro izquierdo, desarrollemos ese cuadrado:

    (1+w^2)^2=1+2w^2+w^4

    Como w^3=1 (por hipotesis), se tiene que

    (1+w^2)^2=1+2w^2+w=1+w+w^2+w^2

    1+w +w^2 es siempre cero, es una propiedad debido a la uniformidad en la distribución de las raices. El termino w^2 te da la otra raíz que no es ni w ni 1. Y eso hace que la suma de las 3 raices sea nula. Si no me crees simplemente podes comprobarlo. Suma las 3 raices (despues de calcularlas) y veras que te da cero.

    Por lo tanto

    (1+w^2)^2=w^2

    c) Para simplificar ese w^5 fijate lo que hago ;)

    w^5= w^3 * w^2 = w^2 , ya que w^3=1

    Entonces queda:

    (1 - w) (1 - w^2) (1-w^2)=(1 - w) (1 - w^2)^2=

    =(1-w)(1-2w^2+w^4) =

    (1-w)(1-2w^2+w)=

    1-2w^2+w-w+2w^3-w^2=

    1-3w^2+2=3-3w^2=

    3*(1-w^2)

    Aqui llegamos a un conflicto y me pregunto si copiaste bien el enunciado. No hay un error en algun signo?

    Porque w^2 tiene 3 valores diferentes, uno para cada w. Estos ejercicios estan siempre pensados para que al resolver todo el despiole te quede w^3 y lo reducis a 1 ó que te quede 1+w+w^2 y lo reducis a cero. Pero aca, si no hay error al copiar, existen 3 posibles valores, y para sacarlos solo tendrias que reemplazar y hacer las cuentas numéricas, que son bien fáciles, ya esta todo masticado.

    Suerte. Saludos

    Dardo

    Fuente(s): Conocimiento
  • hace 1 década

    Si w^3=1, entonces w^3 -1=0

    Luego 1 cumple con esta ecuación. Entonces nos queda

    w^3 -1= (w-1) (w^2+w+1)=0. Ahora vamos a encontrar las otras dos raíces, (w^2+w+1)=0 Aplicando bascara tenemos

    w1 = [ -1+Sqrt(1-4*1*1)]/2= [-1+Sqrt(-3)]/2

    w1 = [-1+Sqrt(3)*i]/2

    y w2= [-1-Sqrt(3)*i]/2

    Notación (Sqrt = raíz cuadrada, i = a la i compleja)

    Antes de continuar expliquemos el siguiente paso. cuando tenemos Sqrt (-a) con a un número real

    Entonces Sqrt (-a) = Sqrt(-1) Sqrt (a)

    Ahora Sqrt(-1) = {i,-i} ({i,-i} es un conjunto)

    pues i^2 = -1 y (-i)^2 = -1.

    Continuando con el ejercicio

    w^3 -1= (w-1) (w^2+w+1) = (w-1) (w-w1) (w-w2) = 0

    donde w1 y w2 son únicos dos números complejos distintos de 1 tales que son raíces cúbicas de la unidad, es decir,

    w1^3 = 1 y w2^3=1

    Ahora vamos a contestar las preguntas:

    a)Como se demuestra que 1, w y w^2 son raíces cúbicas de 1 ?

    1^3 =1

    w^3=1 por la definición y por lo dicho anteriormente

    vamos a probar que (w^2)^3=1

    si w es distinto de 1, entonces w=w1 o w=w2

    entonces w^2=(w1)^2 o w^2=(w2)^2

    pero (w1)^2=w2 y (w2)^2=w1

    entonces (w^2)^3=(w1)^3 = 1 o (w^2)^3=(w2)^3=1

    b) Demostrar (1 + w^2)^2 = w^2

    Tomemos w=w1 (es igual para w=w2), w^2=w2 y w^4=w1

    entonces (1 + w^2)^2 =1+2*w^2+ w^4 = 1+2*w2+w1

    =1+2((-1-Sqrt(3)*i)/2)+ (-1+Sqrt(3)*i)/2)

    =1 - 1 - Sqrt(3)*i + (-1+Sqrt(3)*i)/2)

    = -Sqrt(3)*i -1/2 + Sqrt(3)*i/2

    = -Sqrt(3)*i -1/2 + Sqrt(3)*i/2

    = -1/2 - Sqrt(3)*i/2 = w2 =w1^2

    c) Cuanto vale (1 - w) (1 - w^2) (1-w^5)

    Hacemos lo mismo que en b) tomamos w=w1 (es igual para w=w2)

    w1^2=w2 y w1^5=w2

    Entonces nos queda

    (1 - w1) (1 - w1^2) (1-w1^5) = (1 - w1) (1 - w2) (1-w2)

    multiplicando (1 - w1) (1 - w2) tenemos

    1-(w2+w1)+w1w2, entonces w1+w2= -1 y w1*w2 = 1

    luego 1-(w2+w1)+w1w2 = 1-1+1=1

    así (1 - w1) (1 - w1^2) (1-w1^5) = (1-w2)

    Espero que te sirva

    Saludos

  • hace 1 década

    tenes que usar la formula de De Moire, buscalo en un libro de algebra

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